问题补充:
解答题已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),过点P(0,p)的直线l与抛物线相交于A、B两点,分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2,记l1和l2相交于点M.
(Ⅰ)证明:直线l1和l2的斜率之积为定值;
(Ⅱ)求点M的轨迹方程.
答案:
解:
(Ⅰ)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+p,
将其代入x2=2py,消去y整理得x2-2pkx-2p2=0(2分)
设A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-2p2(3分)
将抛物线的方程改写为,求导得.
所以过点A的切线l1的斜率是,过点B的切线l2的斜率是,
故,所以直线l1和l2的斜率之积为定值-2(6分)
(Ⅱ)解:设M(x,y).因为直线l1的方程为y-y1=k1(x-x1),即,
同理,直线l2的方程为,
联立这两个方程,消去y得,
整理得,注意到x1≠x2,所以(10分)
此时(12分)
由(Ⅰ)知,x1+x2=2pk,所以,
所以点M的轨迹方程是:y=-p.(14分)解析分析:(Ⅰ)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+p,将其代入x2=2py,消去y整理得x2-2pkx-2p2=0.设A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-2p2,将抛物线的方程改写为,求导得.由此能够证明直线l1和l2的斜率之积为定值;(Ⅱ)设M(x,y).因为直线l1的方程为y-y1=k1(x-x1),即,同理,直线l2的方程为,联立这两个方程,消去y得,由此能够求出点M的轨迹方程.点评:本题考查点的轨迹方程,解题时要注意韦达定理的合理运用和公式的灵活运用.