问题补充:
解答题已知函数,其中a为实数.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)≥0对定义域内的任意x恒成立,求实数a的取值范围;
(3)证明:对任意的正整数m,n,不等式恒成立.
答案:
解:(1)∵,
∴,
①当a≤0时,若0<x<1,则f′(x)<0,
故函数f(x)的单调减区间是(0,1);
若x>1,则f′(x)>0,故函数f(x)的增区间是(1,+∞).
②当0<a<1时,函数f(x)的单调减区间是(a,1);
单调增区间是(0,a),(1,+∞).
③当a=1时,则,
故函数f(x)的单调增区间是(0,+∞);
⑤当a>1时,函数f(x)的单调递减区间是(1,a);
函数f(x)的单调区间是(0,1),(a,+∞).
(2)由于f(1)=-,
当a>0时,f(1)<0,
此时f(x)≥0对定义域内的任意x不是恒成立的.
当a≤0时,由(1)得f(x)在区间(0,+∞)上的极小值,也是最小值为f(1)=-,
此时,f(1)≥0,解得a≤-,
故实数a的取值范围是(-∞,-).
(3)由(2)知,当a=-时,
f(x)=-≥0,当且仅当x=1时,等号成立,
这个不等式等价于lnx≤x2-x.
当x>1时,变换为,
在上面的不等式中,
令x=m+1,m+2,…,m+n,则有
>-,
即对任意的正整数m,n,不等式恒成立.解析分析:(1)由,得,由此根据a的取值范围进行分类讨论,能求出函数f(x)的单调区间.(2)由于f(1)=-,当a>0时,f(1)<0,此时f(x)≥0对定义域内的任意x不是恒成立的.当a≤0时,由(1)得f(x)在区间(0,+∞)上取得最小值为f(1)=-,由此能求出实数a的取值范围.(3)由(2)知,当a=-时,f(x)=-≥0,当且仅当x=1时,等号成立,这个不等式等价于lnx≤x2-x.由此能够证明对任意的正整数m,n,不等式恒成立.点评:本题考查函数的单调区间的求法,考查实数的取值范围的求法,考查不等式恒成立的证明.解题时要认真审题,仔细解答,注意导数的性质和分类讨论思想的灵活运用.