问题补充:
解答题已知函数,x∈R.
(Ⅰ)若a=3,求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程;
(Ⅱ)若对任意的x∈[-1,2],都有f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
答案:
解:(Ⅰ)a=3时,f(x)=x3-x2+2,f(2)=6,f(x)=3x2-2x,f(2)=8,
∴切线方程为:y=8x-10
(Ⅱ)f(x)=x(ax-2),
(1)a=0时,f(x)=-2x,f(2)=-2<0,不符合题意,所以a≠0;
(2)f(x)=x(ax-2)=0,x=0或,
当,即a≥1时,
x-1(-1,0)02f(x)+00+f(x)增极大值2减极小值增由a≥1得,.
∴只需且,解得1≤a<3
(3),即0<a<1时,
x-1(-1,0)0(0,2)2f(x)+0f(x)增极大值2减0<a<1时,,只需,解得
(4)a<0时,,不符合题意.
综上,.解析分析:(Ⅰ)确定切点的坐标,求导函数,确定切线的斜率,即可得到切线方程;(Ⅱ)求导函数,再分类讨论:(1)a=0时,不符合题意;(2)a≠0时,f(x)=x(ax-2)=0,x=0或,确定函数的最值,结合f(x)>0恒成立,即可求a的取值范围.点评:本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查分类讨论的数学思想,考查恒成立问题,正确求导,合理分类是关键.