问题补充:
解答题已知函数f(x)=|x-a|-alnx,a∈R
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)的最小值为m,且-2a≤m≤-a,求a的取值范围.
答案:
解:(1)依题意有,函数的定义域为(0,+∞),
当a≤0时,f(x)=|x-a|-alnx=x-a-alnx
∵,∴函数f(x)的单调增区间为(0,+∞),
当a>0时,
若x≥a,,此时函数单调递增,
若x<a,,此时函数单调递减,
综上,当a≤0时,函数f(x)的单调增区间为(0,+∞),
当a>0时,函数f(x)的单调减区间为(0,a),单调减区间为(a,+∞)
(2)由(1)知,当a≤0时,函数f(x)单调递增,没有最小值,不合题意;
则必有a>0,此时函数f(x)的单调减区间为(0,a),单调减区间为(a,+∞),
所以函数f(x)的最小值为m=f(a)=-alna
由题意,-2a≤-alna≤-a,即1≤lna≤2
解得?e≤a≤e2解析分析:(1)先确定函数的定义域,再分类讨论,将绝对值符号化去,利用导数可确定函数的单调区间;(2)由(1)知,当a≤0时,函数f(x)单调递增,没有最小值,不合题意;a>0,此时函数f(x)的单调减区间为(0,a),单调减区间为(a,+∞),所以函数f(x)的最小值为m=f(a)=-alna,从而问题可转化为-2a≤-alna≤-a,故可求a的取值范围.点评:本题以函数为载体,考查导数的运用,考查函数的单调性,考查分类讨论的数学思想,解题的关键是正确分类,将绝对值符号化去.