问题补充:
解答题已知椭圆的两个焦点,过F1且与坐标轴不平行的直线l1与椭圆相交于M,N两点,如果△MNF2的周长等于8.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q,试问在x轴上是否存在定点E(m,0),使恒为定值?若存在,求出E的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(I)由题意知c=,4a=8,∴a=2,b=1
∴椭圆的方程为=1
(II)当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为y=k(x-1)消去y得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
则由韦达定理得则
∴=m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2
=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1)
=
=要使上式为定值须,解得∴为定值当直线l的斜率不存在时由可得∴=综上所述当时,为定值解析分析:(I)由题意知c=,4a=8,由此能得到椭圆的方程.(II)当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为y=k(x-1)消去y得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),由韦达定理结合向量的运算法则能够导出为定值.点评:本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,合理地进行等价转化,注意韦达定理和向量知识的合理运用.