问题补充:
已知:在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过O、A两点.
(1)求点A的坐标,并用含a的代数式表示b;
(2)已知点C(1,5),点B是抛物线上一点,且四边形OABC为平行四边形,求此时抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,设点D是抛物线上且在直线OB下方的一个动点,当△OBD是等腰三角形时,符合条件的点D有几个?请求出其中一个点D的坐标.
答案:
解:(1)一次函数y=kx-4k,
令y=0,则x=4,
∴A(4,0).
∵抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过O、A两点,
∴,
∴b=-4a.
(2)如图1,
∵四边形OABC是平行四边形,
∴OA=BC=4.
∵C(1,5),
∴B(5,5)
∵点B在抛物线y=ax2-4ax上,
∴5=25a-20a,
∴a=1.
∴y=x2-4x.
(3)符合条件的点D有2个.
如图2,作线段OB的中垂线,交抛物线于点D,
分别交OB、x轴于点E、F,
则OD=BD,点D为满足条件的一个点.
设点D的坐标为(x,x2-4x).
则OD2=x2+(x2-4x)2,
BD2=(5-x)2+(5-x2+4x)2
∴x2+(x2-4x)2=(5-x)2+(5-x2+4x)2,
解得x=(负值舍去).
∴D(,).
本小题也可通过求出直线EF的解析式后,进一步求与抛物线交点D的坐标.
解析分析:(1)由于抛物线过原点,因此c=0,可用一次函数的解析式求出A点的坐标,然后将A的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出a,b的关系式.
(2)由于四边形OABC是平行四边形,因此BC平行且相等于OA,OA=4,因此将C点的坐标向左平移4个单位就可得出B点的坐标,然后将B的坐标代入抛物线中即可得出二次函数的解析式.
(3)应该有两个符合条件的D点.
①OD=BD,此时D为OB垂直平分线与抛物线的交点.②OB=BD.
可设出D点的坐标,然后用坐标系中两点距离公式表示出OB,BD,OD的长,然后根据不同的情况可得出不同的关于D点坐标的方程,经过解方程即可求出D点的坐标.
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的构成情况等知识点,综合性强,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
已知:在平面直角坐标系xOy中 一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A 抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过O A两点.(1)求点A的坐标 并用含a的代数式表