问题补充:
已知:如图,过点O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M(2m,0),交y轴的负半轴于点D;弧OBM与弧OAM关于x轴对称,其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点,以点B为顶点且过点D的抛物线l交⊙P与另一点E.
(1)当m=4时,求出抛物线l的函数关系式并写出点E的坐标;
(2)当m取何值时,四边形BDCE面积最大?最大面积是多少?
(3)是否存在实数m,使得四边形BDCE为菱形?并说明理由.
答案:
解:(1)连接OP,OB,
∵过点O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M(2m,0),m=4,
∴M点坐标为:(8,0),
∴ON=4,
∴NP==3,
∴AN=5-NP=2,
∴BN=2,
∴B点坐标为:(4,-2),P点坐标为:(4,-3),
图象过(0,0)点,
故将顶点(4,-2)代入顶点式得y=a(x-4) 2-2,
则0=a(0-4)2-2,
解得a=-.
抛物线的函数关系式为:y=-(x-4)2-2.
x=0时,y=-6,故D点坐标为(0,-6),抛物线对称轴为x=4,
故根据对称可知:E(8,-6);
(2)∵点M(2m,0),
∴AN=PA-NP=,故A点坐标为:(m,),可得B(m,),
C(m,),D(0,),E(2m,),
四边形BDCE的面积为:S=BC?DE=×2×2m=2=2,
所以当,即(负值舍去)时,面积有最大值.
四边形面积的最大值为:.
(3)设A(m,h),则B的坐标为(m,-h),C的坐标为(m,h-10),
假设以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形,则DE与BC互相垂直平分,设DE与BC相交于点F,于是BF=CF.
则10-3h=h,
即,
故BC=5,
此时B、P两点重合,
故=,
或:因为BC垂直且平分DE,所以DE平分BC时,四边形BDCE是菱形.
,.
解析分析:(1)可连接OP,PM,设AC与OM交于N,那么在直角三角形OPN中,OP=5,ON=m=4.因此PN=3,AN=BN=2,CN=PC+PN=8,因此A,B,C的坐标分别为(4,2),(4,-2),(4,-8).可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式,根据圆和抛物线的对称性可知:E点和D点关于抛物线的对称轴x=4对称,因此根据D的坐标即可求出E点的坐标.
(2)根据M(2m,0)得出A、B、C、D、E点的坐标,进而表示出四边形BDCE的面积,利用二次根式性质得出最值即可.
(3)如果以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形,那么这个四边形的对角线互相垂直平分,如果设BC,DE的交点为F,那么BF=CF,可用A点的纵坐标即AN的长表示出BF和CF由此可求出A点的纵坐标,进而可在直角三角形OAN中用勾股定理求出m的值.
点评:本题考查了待定系数法求二次函数解析式、垂径定理、勾股定理、菱形的性质等重要知识点,综合性强,考查学生数形结合的数学思想方法.
已知:如图 过点O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M(2m 0) 交y轴的负半轴于点D;弧OBM与弧OAM关于x轴对称 其中A B C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧