问题补充:
已知函数f(x)=3x的定义域为R,满足f(a+2)=18,函数g(x)=λ3ax-4x的定义域为[0,1].
(1)求实数a的值;
(2)若函数g(x)为减函数,求实数λ的取值范围;
(3)若函数g(x)的最大值为,求实数λ的值.
答案:
解:(1)由f(a+2)=18,得3a+2=18,即3a=2,所以a=log32(2分)
(2)把a=log32代入,解得:g(x)=λ?3ax-4x=λ?2x-4x,设0≤x1<x2≤1,
∵g(x)在[0,1]上是单调递减函数,
∴g(x2)-g(x1)<0在[0,1]上恒成立(6分)
即在[0,1]上恒成立,
即恒成立(8分)
∵,
∴实数λ的取值范围是λ≤2(10分)
(3)设t=2x,则t∈[1,2],
则φ(t)=-t2+λt在t∈[1,2]上的最大值为(11分)
∴φ(t)的对称轴t=,分三种情况:
①当,即λ>4时,由,
解得(舍去)(12分)
②当,即λ<2时,由,
解得(13分)
③当,即2≤λ≤4时,由,
解得(均舍去)(15分)
综上知,实数λ的值为(16分)
解析分析:(1)由f(a+2)=18列出关于a的方程,利用对数函数的性质求出a;(2)把a的值代入g(x)的解析式,设0≤x1<x2≤1,由减函数的定义知g(x2)-g(x1)<0在[0,1]上恒成立,用分析法和指数函数的性质求出λ的范围;(3)设t=2x,求出t∈[1,2],则g(x)转化为关于t的二次函数,即该函数在[1,2]上的最大值为,因对称轴含有参数,需要讨论与区间的关系,故分三种情况并结合二次函数的图象求解.
点评:本题是难度大的有关函数性质的综合题,考查了函数的单调性的定义应用和函数最值及其几何意义,用了数形结合思想、分析法和换元法.
已知函数f(x)=3x的定义域为R 满足f(a+2)=18 函数g(x)=λ3ax-4x的定义域为[0 1].(1)求实数a的值;(2)若函数g(x)为减函数 求实数