问题补充:
已知a∈R,函数f(x)=-ax,x∈[0,+∞)
(1)若f(x)是单调函数,求a的取值范围.
(2)若f(x)的值域为(0,1],求a的值.
答案:
解:(1)f′(x)=-a.当x∈(0,+∞)时,0<<1,(2分)
f′(x)的取值范围是(-a,1-a).
f(x)为增函数当且仅当-a≥0,即a≤0;????(4分)
f(x)为减函数当且仅当1-a≤0,即a≥1.
所以,使得f(x)是单调函数的a的取值范围是(-∞,0]∪[1,+∞)????? (6分)
(2)①若a≤0则由(1)f(x)单增,
f(x)>f(10)=1,当x∈(0,+∞)时,
f(x)的值域不是(0,1].???????????????????????????? (7分)
②若a≥1则由(1)f(x)单调递减,其中f(0)=1
(i)若a>1,则由f(x)=0,
得x=.当x∈(,+∞)时,
f(x)<f=0,f(x)的值域不是(0,1](8分)
(ii)若a=1,则f(x)=(-x)==0
f(x)的值域是(0,1](10分)
③若0<a<1,则在x∈(0,+∞)内,
由f′(x)<0,得0<x<.f(x)在(0,)单调递减,
由f′(x)>0,得x>,f(x)在(,+∞)单调递增.
由f(x)=1,得x=
=×>,
所以,当x∈(,+∞)时,f(x)>f=1
此时,f(x)的值域不是(0,1](12分)
综上,使得f(x)的值域为(0,1]的a的值为1.(13分)
解析分析:(1)先求出导函数f′(x)=-a,然后求出当x∈(0,+∞)时f′(x)的取值范围,然后根据函数的单调性与导数符号的关系建立不等关系解之即可;(2)讨论a,若a≤0则根据单调性求出f(x)的值域进行判定,若a>1时求出f(x)的值域进行判定,若a=1,则f(x)=(-x)==0,从而f(x)的值域是(0,1]符合题意,若0<a<1,则在x∈(0,+∞)内,讨论函数的单调性可求出函数f(x)的值域进行判定,从而得到结论.
点评:本题主要考查了函数的最值及其几何意义,以及函数单调性的判断与证明,同时考查了分类讨论的数学思想,属于中档题.
已知a∈R 函数f(x)=-ax x∈[0 +∞)(1)若f(x)是单调函数 求a的取值范围.(2)若f(x)的值域为(0 1] 求a的值.