问题补充:
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是AB的中点,BE平分∠ABC,分别交AC、CD于点E、F,过点E作EG∥AB,分别交BC、CD于点G、O,连接DG.下列结论:
①EG=AE;②∠BGD=∠BDG;③S△ABE=2S△CBE;④DF=BG;⑤AC=(+1)CF.
其中正确结论的个数为A.2个B.3个C.4个D.5个
答案:
B
解析分析:过点E作EH⊥AB于H,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EH=EC,然后判断出△ABC、△AEH和△ECG都是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AE=EH,EG=EC,从而得到EG=AE,判断出①正确;根据等腰直角三角形的性质,BG=EG=CG,BD=(CG+CG),求出BG≠BD,所以∠BGD≠∠BDG,判断出②错误;AE=EH=CE,根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S△ABE=S△CBE,判断出③错误;求出△BDF和△BCE相似,根据相似三角形对应边成比例求出==,根据角平分线的定义求出∠CBE=22.5°,然后求出∠BEG=22.5°,从而得到∠CBE=∠BEG,根据等角对等边可得BG=EG,再根据EG=CE整理即可得到DF=BG,判断出④正确;根据等腰直角三角形的性质可得BC=CD,再根据CF=CD-DF整理即可得解,判断出⑤正确.
解答:如图,过点E作EH⊥AB于H,
∵BE平分∠ABC,
∴EH=EC,
∵∠ACB=90°,AC=BC,EG∥AB,
∴△ABC、△AEH和△ECG都是等腰直角三角形,
∴AE=EH,EG=EC,
∴EG=AE,故①正确;由等腰直角三角形的性质可得,BG=EG=CG,BD=(CG+CG)=(+1)CG,
∴BG≠BD,
∴∠BGD≠∠BDG,故②错误;又∵AE=EH=CE,
∴S△ABE=S△CBE,故③错误;∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=22.5°,
∵点D是AB的中点,
∴CD⊥AB,
∴∠BDF=∠ACB=90°,
∴△BDF∽△BCE,
∴==,
又∵∠BEG=∠CGE-∠CBE=45°-22.5°=22.5°,
∴∠CBE=∠BEG,
∴BG=EG,
又∵EG=CE,
∴DF=CE=×BG=BG,故④正确;由等腰直角三角形的性质可得,BC=CD,
CF=CD-DF=BC-BG,
∵CG=EG=BG,
∴BC=BG+BG,
∴BG=(2-)BC,
∴CF=BC-(2-)BC=(-1)BC,
∴BC=CF=(+1)CF,
∴AC=(+1)CF,故⑤正确.
综上所述,正确的有①④⑤共3个.
故选B.
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,等高的三角形的面积的比等于底边的比,熟练掌握各性质并准确识图是解题的关键,本题难点在于多次利用等腰直角三角形的性质.
如图 Rt△ABC中 ∠ACB=90° AC=BC 点D是AB的中点 BE平分∠ABC 分别交AC CD于点E F 过点E作EG∥AB 分别交BC CD于点G O 连