问题补充:
如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知A、B两点的坐标分别为(4,0)、(0,2),将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD,抛物线y=ax2-2ax+4经过点A.
(1)求抛物线的函数表达式,并判断点D是否在该抛物线上;
(2)如图2,若点P是抛物线对称轴上的一个动点,求使|PC-PD|的值最大时点P的坐标;
(3)设抛物线上是否存在点E,使△CDE是以CD为直角边的直角三角形?若存在,请求出所有点E的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)∵y=ax2-2ax+4经过点A,
A点的坐标为(4,0)
∴解析式为:y=-x2+x+4
∵△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD,∴D点的坐标为(-2,0)
代入y=-x2+x+4可得,D点在解析式上.
(2)如图1:
∵在三角形PCD中,由两边之差小于第三边,
∴|PC-PD|<CD,当P在线段DC延长线上时,|PC-PD|的值最大,为CD的长,
过C(0,4),D(-2,0)的直线为y=2x+4,
∵当x=1时,y=2×1+4=6,
∴抛物线对称轴交点为(1,6),
∴|PC-PD|的值最大时点P的坐标(1,6);
(3)如图2,假设存在这样一个点E,(x,-x2+x+4),使△CDE是以CD为直角边的直角三角形,
故EF2+CF2=CE2,EG2+DG2=DE2
∴EC2+CD2=DE2
∴DE2=EF2+CF2+OC2+DO2
∴x2+[4-(-x2+x+4)]2+20=(-x2+x+4)2+(x+2)2
∴整理得:4x2-12x=0(2)
解得:x1=0(不合题意舍去),x2=3
代入(x,-x2+x+4),得(3,)
∴E点坐标为(3,).
∴抛物线上存在点E,使△CDE是以CD为直角边的直角三角形.
如图3,假设存在这样一个点E′(x,-x2+x+4),使△CDE是以CD为直角边的直角三角形,
作E′F⊥x轴于点F,E′N⊥y轴于点N,
故E′F2+DF2=DE′2,CN2+NE′2=CE′2,OD2+CO2=DC2,
∴CE′2=E′F2+DF2+OC2+DO2
∴x2+[4-(-x2+x+4)]2=20+(-x2+x+4)2+(x+2)2
∴整理得:x2-3x-10=0
解得:x1=-2(不合题意舍去),x2=5,
代入(x,-x2+x+4),得(5,-3.5)
∴E′点坐标为(5,-3.5).
∴抛物线上存在点E(5,-3.5),(3,),使△CDE是以CD为直角边的直角三角形
解析分析:(1)将A点(4,0)代入解析式得出抛物线的函数表达式,并求出D点的坐标,并判断点D是否在该抛物线上.
(2)求|PC-PD|的值最大时点P的坐标,应延长CD交对称轴于点P.因为|PC-PD|小于或等于第三边即CD,当|PC-PD|等于CD时,|PC-PD|的值最大.
(3)假设存在这样一个点E,(x,-x2+x+4),利用勾股定理可以求出.
点评:此题主要考查了:
(1)待定系数法求二次函数解析式,即A点(4,0)代入y=ax2-2ax+4,
(2)勾股定理的应用和作对称点问题,综合性较强.
如图1 在平面直角坐标系xOy中 已知A B两点的坐标分别为(4 0) (0 2) 将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD 抛物线y=ax2-2ax+4经过点