问题补充:
如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点,与x轴交于点C.已知OA=,tan∠AOC=,点B的坐标为(,m).
①求反比例函数和一次函数的解析式;
②利用图象,写出一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围;
③求△AOB的面积.
答案:
解:(1)如图,过A作AE⊥x轴于E点,
在Rt△OAE中,tan∠AOC=,
∴=,即OE=2AE,
∵OA2=OE2+AE2,OA=,
∴4AE2+AE2=5,解得AE=1,
∴OE=2,
∴A点坐标为(-2,1),
把A(-2,1)代入反比例函数得k=-2,
∴反比例函数的解析式为y=-;
把B(,m)代入y=-得m=-2,解得m=-4,
∴点B的坐标为(,-4),
把A(-2,1)、B(,-4)分别代入y=ax+b得,-2a+b=1,a+b=-4,解得a=-2,b=-3,
∴一次函数的解析式为y=-2x-3;
(2)一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围为x>-2或0<x<;
(3)对于y=-2x-3,令x=0,则y=-3,
∴D点坐标为(0,-3),
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=×3×2+×3×=.
解析分析:(1)过A作AE⊥x轴于E点,根据正切的定义得到=,即OE=2AE,然后根据勾股定理有OA2=OE2+AE2,而OA=,可求得OE=1,从而确定A点坐标为(-2,1),把A(-2,1)代入反比例函数求出k,即确定反比例函数的解析式;接着把B(,m)代入反比例函数解析式中确定B点坐标,然后利用待定系数法确定一次函数的解析式;
(2)观察图形得到当x>-2或0<x<时,一次函数值的图形在反比例函数图形的上方;
(3)先确定D点坐标,然后利用S△AOB=S△AOD+S△BOD和三角形面积公式进行计算即可.
点评:本题考查了反比例函数的综合题:先根据条件确定点的坐标,然后利用待定系数法确定反比例函数的解析式,再运用反比例函数的性质解决问题.
如图 一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于A B两点 与x轴交于点C.已知OA= tan∠AOC= 点B的坐标为( m).①求反比例函数和一次函数的解析式