问题补充:
如图,以AB为直径的半圆O交AC于点D,且点D为AC的中点,DE⊥BC于点E,AE交半圆O于点F,BF的延长线交DE于点G.
(1)求证:DE为半圆O的切线;
(2)若GE=1,BF=,求EF的长.
答案:
(1)证明:连接OD,如图,
∵AB为半圆O的直径,D为AC的中点,
∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥BC,
∵DE⊥BC,
∴DE⊥DO,
又∵点D在圆上,
∴DE为半圆O的切线;
(2)解:∵AB为半圆O的直径,
∴∠AFB=90°,
而DE⊥BC,
∴∠GEB=∠GFE=90°,
∵∠BGE=∠EGF,
∴△BGE∽△EGF
∴,
∴GE2=GF?GB=GF(GF+BF)
∵GE=1,BF=,
∴GF=,
在Rt△EGF中,EF==.
解析分析:(1)连接OD,易得OD为△ABC的中位线,则OD∥BC,由于DE⊥BC,所以DE⊥DO,然后根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)由AB为半圆O的直径得到∠AFB=90°,易证得△BGE∽△EGF,利用可计算出GF,然后在Rt△EGF中利用勾股定理可计算出EF.
点评:本题考查了圆的切线的判定:过半径的外端点,与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了勾股定理、圆周角定理以及三角形相似的判定与性质.
如图 以AB为直径的半圆O交AC于点D 且点D为AC的中点 DE⊥BC于点E AE交半圆O于点F BF的延长线交DE于点G.(1)求证:DE为半圆O的切线;(2)若G