问题补充:
如图,平面直角坐标系中有一矩形ABCO(O为原点),点A、C分别在x轴、y轴上,且C点坐标为(0,6);将BCD沿BD折叠(D点在OC边上),使C点落在OA边的E点上,并将BAE沿BE折叠,恰好使点A落在BD的点F上.
(1)直接写出∠ABE、∠CBD的度数,并求折痕BD所在直线的函数解析式;
(2)过F点作FG⊥x轴,垂足为G,FG的中点为H,若抛物线y=ax2+bx+c经过B、H、D三点,求抛物线的函数解析式;
(3)若点P是矩形内部的点,且点P在(2)中的抛物线上运动(不含B、D点),过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M,设h=PM-MN,试求出h与P点横坐标x的函数解析式,并画出该函数的简图,分别写出使PM<NM、PM=MN、PM>MN成立的x的取值范围.
答案:
解:(1)∠ABE=∠CBD=30°
在△ABE中,AB=6
BC=BE=
CD=BCtan30°=4
∴OD=OC-CD=2
∴B(,6),D(0,2)
设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b;
,
∴;
所以BD所在直线的函数解析式是;
(2)∵EF=EA=ABtan30°=,∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°;
又∵FG⊥OA,
∴FG=EFsin60°=3,GE=EFcos60°=,OG=OA-AE-GE=
又H为FG中点
∴H(,)
∵B(,6)、D(0,2)、H(,)在抛物线y=ax2+bx+c图象上
∴
∴抛物线的解析式是;
(3)∵MP=
MN=6-
h=MP-MN=
由
得
该函数简图如图所示:
当0<x<时,h<0,即PM<MN
当x=时,h=0,即PM=MN
当<x<时,h>0,即PM>MN.
解析分析:(1)根据折叠的性质知:∠CBD、∠DBE、∠EBA都相等,因此∠ABE=∠CBD=30°;
在Rt△ABE中,已知了∠ABE=30°,而AB=OC=6,由此可求出BE即BC的长,即可得到B点的坐标;在Rt△BCD中,已知∠CBD的度数及BC的长,通过解直角三角形可求出CD的长,也就得到了D点的坐标,进而可用待定系数法求出直线BD的解析式;
(2)由于∠AEB=∠BEF=60°,易求得∠FEG=60°;在Rt△BEF中,BE的长在(1)中已求得,∠EBF=30°,即可求出EF的长;进而可在Rt△FEG中通过解直角三角形求出FG、GE的值,即可得到H点的坐标,进而可用待定系数法求出抛物线的解析式;
(3)根据直线BD和抛物线的解析式分别表示出M、P的纵坐标,进而可得到MN、PM的表达式,也就能得到关于h、x的函数关系式,可根据所得函数的性质来判断出PM<NM、PM=MN、PM>MN成立的x的取值范围.
点评:此题主要考查了矩形的性质、图形的折叠变换、一次函数及二次函数解析式的确定、二次函数的应用等知识.
如图 平面直角坐标系中有一矩形ABCO(O为原点) 点A C分别在x轴 y轴上 且C点坐标为(0 6);将BCD沿BD折叠(D点在OC边上) 使C点落在OA边的E点上