问题补充:
已知,⊙O与直线l相切于点C,直径AB∥l,P是l上C点左边(不包括C点)一动点,AP交⊙O于D,BP交⊙O于E,DE的延长线交l于F.
(1)当PC<AO时,如图1,线段PF与FC的大小关系是______.结合图1,证明你的结论;
(2)当PC>AO时,AP的反向延长线交⊙O于D,其它条件不变,如图2,(1)中所得结论是否仍然成立?
答:______;(不证明)
(3)如图2,当tan∠APB=,tan∠ABE=,AP=时,求PF的长.
答案:
解:(1)PF=FC.
证明:∵四边形ABED内接与⊙O,
∴∠PDE=∠B.
∵AB∥l,
∴∠B=∠EPF.
∴∠PDE=∠EPF.
∴△PFE∽△DFP.
∴.
∴PF2=EF?FD.
∵CF切⊙O于C,
∴CF2=FE?FD.
∴PF2=CF2即PF=CF.
(2)成立.
(3)连接AE.
⊙O中,∵AB是直径,∴AE⊥PB
在Rt△APE中,由tan∠APB=,
设AE=x,则PE=2x.
由AP2=AE2+PE2,得x=
∴AE=,EP=
在Rt△AEB中,BE==
⊙O中PC切⊙O于C,
∴PC2=PE?PB=PE?(PE+EB)=?(+)=4.
∴PC=2.
∴PF=PC=1.
解析分析:(1)由于FC2=FE?FD,因此只要证PF2=FE?FD即可,可以通过证三角形PEF和DPF相似来解.证这两个三角形相似关键是求∠DPF=∠PEF,可通过等角的补角相等来证,∠DEP是圆内接四边形ADEB的外角,∠DEP=∠A,而∠A是∠DPF的补角(平行线间的同旁内角),∠DEP是∠PEF的补角,由此可得证.
(2)证法同(1).
(3)求PF,关键是求PC的长,也就是求出PE,BE的长.连接AE,那么可在直角三角形APE中,根据∠APE的正切值和勾股定理可以求出AE,PE的长,然后用AE的长,在直角三角形ABE中根据∠B的正切值求出BE的长,那么根据切割线定理得出的PC2=PE?PB,可求出PC的长,也就求出了PF的长.
点评:本题主要考查了切割线定理,相似三角形的性质以及解直角三角形等知识点,通过线段的比例关系来求解是本题的基本思路.
已知 ⊙O与直线l相切于点C 直径AB∥l P是l上C点左边(不包括C点)一动点 AP交⊙O于D BP交⊙O于E DE的延长线交l于F.(1)当PC<AO时 如图1