问题补充:
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为E(1,0),与y轴的交点坐标为(0,1).
(1)求该抛物线的函数关系式.
(2)A、B是x轴上两个动点,且A、B间的距离为AB=4,A在B的左边,过A作AD⊥x轴交抛物线于D,过B作BC⊥x轴交抛物线于C.设A点的坐标为(t,0),四边形ABCD的面积为S.
①求S与t之间的函数关系式.
②求四边形ABCD的最小面积,此时四边形ABCD是什么四边形?
③当四边形ABCD面积最小时,在对角线BD上是否存在这样的点P,使得△PAE的周长最小,若存在,请求出点P的坐标及这时△PAE的周长;若不存在,说明理由.
答案:
解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-1)2,把点(0,1)代入抛物线有:1=a(0-1)2,得:a=1.
所以抛物线的解析式为:y=(x-1)2.
(2)①∵A(t,0),AB=4,且A在B的左边,∴B(t+4,0),
当x=t时,y=(t-1)2=t2-2t+1,∴D(t,t2-2t+1).
当x=t+4时,y=(t+4-1)2=t2+6t+9,∴C(t+4,t2+6t+9).
∵四边形ABCD是直角梯形,
∴S=(AD+BC)×AB=(t2-2t+1+t2+6t+9)×4=4t2+8t+20.
所以:S=4t2+8t+20.
②当t=-=-1时,四边形ABCD的面积最小,
此时,AB=4,AD=t2-2t+1=4,BC=t2+6t+9=4,且∠BAD=∠ABC=90°,
所以ABCD是正方形.
③因为ABCD是正方形,所以点A点C关于BD对称,直线CE与BD的交点就是点P.
此时:A(-1,0),B(3,0),C(3,4),D(-1,4),E(1,0).
可以求出直线CE的解析式:y=2x-2.
BD的解析式:y=-x+3.
联立得:,∴
所以点P的坐标为(,)
此时△PAE的周长=CE+AE=+2=2+2.
解析分析:(1)先设抛物线的顶点式,然后把点(0,1)代入抛物线,可以求出抛物线的解析式.(2)①因为点A的坐标为(t,0),AB=4,所以点B的坐标为(t+4,0),分别把A,B两点的坐标代入抛物线得到C,D两点的坐标,得到线段AD和BC的长,可以用含t的式子表示直角梯形ABCD的面积.②根据①得到S关于t的二次函数,利用二次函数的性质,可以求出面积最小时t的值,并确定此时四边形的形状.③当四边形ABCD的面积最小时,ABCD是正方形,点A点C关于BD对称,根据两点之间线段最短,得到CE与BD的交点就是点P,然后求出△PAE的周长.
点评:本题考查的是二次函数的综合题,(1)利用顶点式求出抛物线的解析式.(2)①结合二次函数的图形,理解四边形ABCD是直角梯形,利用梯形的面积公式求出S关于t的函数.②利用①中求出的二次函数的性质,得到四边形面积最小时t的值,并确定ABCD的形状.③利用②的结论得到A,B,C,D的坐标,再根据两点之间线段最短,求出点P的坐标和△PAE的周长.
如图 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为E(1 0) 与y轴的交点坐标为(0 1).(1)求该抛物线的函数关系式.(2)A B是x轴上两个动点 且A B间的距