问题补充:
在平面直角坐标系中,点A和点B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,且OA、OB分别是关于x的方程x2-7x+12=0的两个根(OA<OB)
(1)求直线AB的解析式;
(2)线段AB上一点C使得S△ACO:S△BCO=1:2,请求出点C的坐标;
(3)在(2)的条件下,y轴上是否存在一点D,使得以点A、C、O、D为顶点的四边形是梯形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
(1)解:x2-7x+12=0,
x1=3,x2=4,
∵OA<OB,
∴OA=3,OB=4,
∴A(-3,0),B(0,4),
设直线AB的解析式是:y=kx+b,
把A(-3,0)、B(0,4)代入得:,
解得:,
∴直线AB的解析式是y=x+4.
(2)解:∵△ACO边AC上的高和△BCO边BC上的高相等,
∵S△ACO:S△BCO=1:2,
∴=,
过C作CE⊥y轴于E,CF⊥x轴于F,
∴CE∥x轴,CF∥y轴,
∴==,
∵OA=3,
∴CE=2,
同理CF=,
∴点C的坐标是(-2,).
(3)解:存在,
理由是:∵AC和DO相交,
分为两种情况:①如图所示:当CD∥OA,即D在E处时,四边形AODC是梯形,
D的坐标是(0,);
②如图所示:当D在y轴的负半轴上D′处时,OC∥AD,
∴=,
即=,
∴OD=2,
D的坐标是(0,-2),
答:在(2)的条件下,y轴上存在一点D,使得以点A、C、O、D为顶点的四边形是梯形,点D的坐标是(0,)或(0,-2).
解析分析:(1)求出一元二次方程的解,得出OA、OB的值,求出A、B的坐标,设直线AB的解析式是:y=kx+b,把A(-3,0)、B(0,4)代入得出方程组,求出方程组的解即可;(2)根据△ACO边AC上的高和△BCO边BC上的高相等和已知求出=,C作CE⊥y轴于E,CF⊥x轴于F,根据平行线分线段成比例定理求出CE、CF的值,即可得出C的坐标;(3)分为两种情况:①当CD∥OA,即D在E处时,根据E的坐标即可求出的坐标;②当D在y轴的负半轴上D′处时,得出=,求出OD的值,即可得出D的坐标.
点评:本题考查了梯形、平行线分线段成比例定理,用待定系数法求一次函数的解析式,解二元一次方程组等知识点的应用,主要培养学生的推理能力和计算能力,题目综合性比较强,是一道具有代表性的题目,分类讨论思想的灵活运用.
在平面直角坐标系中 点A和点B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上 且OA OB分别是关于x的方程x2-7x+12=0的两个根(OA<OB)(1)求直线AB的解析式;(