问题补充:
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(-1)=0且对一切实数x恒成立,求f(x)的解析式.
答案:
解:当x=,即x=1时,1≤f(1)≤1,
则f(1)=1;
联立f(-1)=0,有:
,
解得:a+c=b=;
∵对于一切实数x,f(x)-x≥0恒成立,
∴ax2+(b-1)x+c≥0(a≠0),对于一切实数x恒成立,
∴,即
∵a+c=,且a+c≥2=2×=
∴当且只有当a=c=时,不等式成立;
∴f(x)=x2+x+.
解析分析:在给出的不等式中,首先令x=,根据这个条件可求出一个f(x)的函数值,联立f(-1)=0,即可求出a+c与b的关系式;由给出的不等式,还可以得到的条件是:对于一切实数x,f(x)-x≥0恒成立,即:ax2+(b-1)x+c≥0对于一切实数x恒成立,观察这个不等式,只有当a>0,且△=(b-1)2-4ac≤0时,才满足上述条件,然后结合均值不等式求出a、c的值;由此得解.
点评:此题考查的是二次函数解析式的求法,题中还涉及了二次函数的性质、二次函数与不等式的联系以及均值不等式的应用,难度较大;解题的关键是从不等式中找出f(x)的一个定值以及抓住不等式恒成立的条件.