问题补充:
在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD如图放置,边AB在x轴上,点A坐标为(1,0),点C坐标为(3,m)(m>0).连接OC交AD与E,射线OD交BC延长线于F.
(1)求点E、F的坐标﹔
(2)当x的值改变时:
①证明﹕经过O、E、F三点的抛物线的最低点一定为原点﹔
②设经过O、E、F三点的抛物线与直线CD的交点为P,求PD的长﹔
③探究﹕△ECF能否成为等腰三角形?若能,请求出△ECF 的面积.
答案:
(1)解:∵点A坐标为(1,0),点C坐标为(3,m),
∴OA=1,OB=3,BC=AD=m,
∵AE∥BC,
∴△OAE∽△OBC,
∴=,即AE==,
∴点E坐标为(1,),
同理,得△OAD∽△OBF,
∴=,即BF==3m,
∴点F坐标为(1,3m);
(2)证明:∵二次函数的图象经过坐标原点O,
∴设二次函数为y=ax2+bx,
又∵二次函数的图象经过E、F,
∴,
解得.
∴二次函数的解析式为y=x2,
∴抛物线的最低点一定为原点﹔
②解:∵m=x2,
解得x=±,
∴PD的长为-1,+1;
③答:能.
∵∠ECF为钝角,
∴仅当EC=FC时,△ECF为等腰三角形,
由EC2=FC2,得CD2+ED2=FC2,
即22+(m-)2=(3m-m)2,
解得m=±,
∵m>0,
∴m=,
∴△ECF的面积=FC?CD=×2m×2=.
解析分析:(1)根据相似三角形的判定和性质即可求出点E、F的坐标﹔
(2)①二次函数的图象经过坐标原点O,可设二次函数为y=ax2+bx,根据待定系数法求出二次函数的解析式,即可证明经过O、E、F三点的抛物线的最低点一定为原点﹔
②根据纵坐标相等可得方程,求得x的值,从而得到PD的长﹔
③根据等腰三角形的性质可得关于m的方程,求得m的值,再根据三角形的面积公式即可求解.
点评:考查了二次函数综合题,涉及的知识点有:平行线的性质,相似三角形的判定和性质,待定系数法求二次函数的解析式,等腰三角形的性质,三角形的面积,方程思想的运用,综合性较强,有一定的难度.
在平面直角坐标系xOy中 矩形ABCD如图放置 边AB在x轴上 点A坐标为(1 0) 点C坐标为(3 m)(m>0).连接OC交AD与E 射线OD交BC延长线于F.(