问题补充:
已知离心率为的椭圆C:过点,O为坐标原点
(1)求椭圆方程
(2)已知直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,若直线l是圆O:的一条切线,求证:.
答案:
解:(1)由题意可得 =,∴a2=2b2,故椭圆的方程为 ,把点M的坐标代入可得b2=4,a2=8,故椭圆方程为 .
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为 x=,代入椭圆的方程可得A(,-?),
B(,?),显然AOB为等腰直角三角形,.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为 y=kx+b,由切线的性质可得 =,3b2=8+8k2?①,
把直线l的方程代入椭圆的方程化简可得 (1+2k2)x2+4kbx+2b2-8=0.
∴x1+x2=,x1x2=,故OA 和OB的斜率之积等于
==,又由①得??8k2=3b2-8,
故OA 和OB的斜率之积等于 =-1,∴OA⊥OB,∴.
解析分析:(1)由离心率可得a2=2b2,故椭圆的方程为 ,把点M的坐标代入可得b2的值,从而得到椭圆方程.(2)当直线l的斜率不存在时,经检验可得三角形AOB为等腰直角三角形,.当斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+b,由切线的性质可得3b2=8+8k2?①,把直线l的方程代入椭圆的方程化简利用根与系数的关系,计算OA和OB的斜率之积等于-1,从而得到.
点评:本题考查求椭圆的标准方程,直线和椭圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,体现了分类讨论的数学思想,证明OA 和OB的斜率之积等于-1,是解题的难点和关键.
已知离心率为的椭圆C:过点 O为坐标原点(1)求椭圆方程(2)已知直线l与椭圆C交于不同的两点A B 若直线l是圆O:的一条切线 求证:.