问题补充:
在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=4y,直线l:y=-1.PA、PB为C的两切线,切点为A,B.
(Ⅰ)求证:“若P在l上,则PA⊥PB”是真命题;
(Ⅱ)写出(Ⅰ)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
答案:
(Ⅰ)证明:由x2=4y得,对其求导得.┅┅┅┅┅┅┅(2分)
设,则直线PA,PB的斜率分别为.
由点斜式得,∴.①┅┅┅┅┅(4分)
,∴.②,┅┅┅┅┅┅(5分)
由①②可得点,
因为P在l上,所以,┅┅┅┅(7分)
所以,所以PA⊥PB.┅┅┅┅┅┅(8分)
(Ⅱ)解:(Ⅰ)中命题的逆命题为:若PA⊥PB,则P在直线l上.为真命题.┅┅(10分)
事实上,由原命题可知,设,
且,∴.①
,∴.②,
由①②可得点,┅┅┅┅┅┅┅(12分)
又PA⊥PB,所以,
即yp=-1,从而点P在l上.┅┅┅┅┅(14分)
解析分析:(Ⅰ)根据抛物线方程设出A,B的坐标,把A,B点代入抛物线方程,对函数求导,进而分别表示出直线PA,PB的斜率,利用点斜式表示出两直线的方程,联立求得交点P的坐标,代入直线l的方程,即可证得结论;(Ⅱ)根据PA⊥PB推断出,进而P在l上,由此可得
在平面直角坐标系xOy中 已知抛物线C:x2=4y 直线l:y=-1.PA PB为C的两切线 切点为A B.(Ⅰ)求证:“若P在l上 则PA⊥PB”是真命题;(Ⅱ)写