问题补充:
如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠BAC=90°,AD=CD=6,E是AD上一点,且AE=4,EF⊥AC,垂足为O,交AD,BC于点E,F.
(1)求证:四边形ABFE为平行四边形;
(2)求OF的长;
(3)若点P,M分别是AC,FC的中点,PK⊥PM,交CD于点K,求的值.
答案:
(1)证明:∵EF⊥AC,∠BAC=90°,
∴EF∥AB,
又∵AD∥BC,
∴四边形ABFE为平行四边形;
(2)解:∵AD=CD=6,∠ADC=90°,
∴AC=6,∠ACD=45°,
∵AD∥BC,
∴∠ACB=45°,
∵EF⊥AC,∠BAC=90°,
∴△ABC,△OFC都是等腰直角三角形.
∴BC=12,
∵四边形ABFE为平行四边形,
∴BF=AE=4,
∴FC=12-4=8,
∴OF=4;
(3)解:过P作PR⊥BC,垂足为R,作PS⊥DC,垂足为S.
则∠PRM=∠PSK=90°,
∵∠ADC=90°,AD=CD,
∴∠ACD=45°,∠ACM=45°,
∴PR=PS,
∴四边形PRCS是正方形,
∴∠SPR=90°,
又∵PK⊥MP,
∴∠MPR=∠KPS,
在△MPR和△KPS中,
∵,
∴△MPR≌△KPS(ASA),
∴MP=KP,SK=MR,
∵点M是FC的中点,
∴MC=(12-4)÷2=4,
点P是AC的中点,PC==3,
Rt△PRC中,∠PCR=45°,
∴PR=RC=3,
∴SC=PS=3,
MR=MC-RC=4-3=1,
∴SK=MR=1,
∴CK=SC-SK=3-1=2,
在Rt△PSK中,根据勾股定理,PK===,
∴=.
解析分析:(1)根据垂直与∠BAC=90°求出EF∥AB,然后根据平行四边形的定义证明即可;
(2)根据等腰直角三角形的性质求出AC的长与∠ACD=45°,再根据两直线平行,内错角相等求出∠ACB=45°,从而判定△ABC,△OFC都是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质求出BC,根据平行四边形的对边平行且相等求出BF,然后求出CF,再根据等腰直角三角形的性质求出OF即可;
(3)过P作PR⊥BC,垂足为R,作PS⊥DC,垂足为S,然后证明四边形PRCS是正方形,再根据同角的余角相等求出MPR=∠KPS,然后利用“角边角”证明△MPR≌△KP,根据全等三角形对应边相等可得MP=KP,SK=MR,根据点M是FC的中点求出MC的长,P是AC的中点求出PC的长,然后根据等腰直角三角形的性质求出PR=RC=3,从而得到MR=1,再根据全等三角形对应边相等得到SK的长,从而可以求出CK,利用勾股定理列式求出PK,然后求出比值即可.
点评:本题考查了直角梯形,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理的应用,正方形的判定与性质,题目比较复杂,难度较大.
如图 直角梯形ABCD中 AD∥BC ∠ADC=∠BAC=90° AD=CD=6 E是AD上一点 且AE=4 EF⊥AC 垂足为O 交AD BC于点E F.(1)求证