问题补充:
在Rt△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,现取一块等腰直角三角板,将45°角的顶点放在斜边BC的中点O处,三角板的直角边与线段AB、AC分别交于点E、点F,设BE=x,CF=y,∠BOE=α(45°≤α≤90°).
(1)试求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)试判断∠BEO与∠OEF的大小关系?并说明理由.
(3)在三角板绕O点旋转的过程中,△OEF能否成为等腰三角形?若能,求出对应x的值;若不能,请说明理由.
答案:
(1)解:∵∠EOC=∠B+∠BEO,∠B=∠EOF=45°,
∴∠BEO=∠FOC=135°-α,
又∵∠B=∠C=45°,
∴△BEO∽△COF(AA),
∴,
在Rt△ABC中,∵AB=AC=2,∠A=90°,点O是BC的中点,
∴BO=CO=BC=,
又CF=y,BE=x,
∴y=(1≤x≤2);
(2)∠BEO=∠OEF.
理由如下:由(1)得:△BEO∽△COF,
∴,
又∵CO=OB,
∴,
又∠B=∠EOF=45°,
∴△BEO∽△OEF,
∴∠BEO=∠OEF;
(3)△OEF能成为等腰三角形.
①当EO=EF时,即点F与点A重合时,此时x=1,△OEF是等腰三角形.
②当EF∥BC时,EO=FO,此时x=y,由可得:(舍负),△OEF是等腰三角形.
③当FE=FO时,即α=90°,点E与点A重合时,此时x=2,△OEF是等腰三角形.
解析分析:(1)根据三角形的外角性质可得∠EOC=∠B+∠BEO,又∠B=∠EOF=45°,从而得到∠BEO=∠FOC,然后证明△BEO与△COF相似,根据相似三角形对应边成比例列出比例式,再根据勾股定理及点O是BC的中点,求出OB、OC的长度,整理即可得到y与x的函数关系式;
(2)根据(1)中的相似三角形的对应边成比例,转化出,再根据两边对应成比例,夹角相等,两三角形相似证明△BEO与△OEF相似,然后根据相似三角形的对应角相等即可证明;
(3)因为等腰三角形的腰没有明确,所以分①当EO=EF时,即点F与点A重合时;②当EF∥BC时,EO=FO;③当FE=FO时,即α=90°,点E与点A重合时,三种情况进行讨论求解.
点评:本题主要考查了相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,综合性较强,(3)中注意要分情况讨论,避免漏解.
在Rt△ABC中 AB=AC=2 ∠A=90° 现取一块等腰直角三角板 将45°角的顶点放在斜边BC的中点O处 三角板的直角边与线段AB AC分别交于点E 点F 设B