问题补充:
已知:如图,ABCD为正方形,以D点为圆心,AD为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O相交于P、C两点,连接AC、AP、CP,井延长CP、AP分别交AB、BC、⊙O于E、H、F、三点,连接OF.
(1)求证:△AEP∽△CEA;
(2)判断线段AB与OF的位置关系,并证明你的结论;
(3)求BH:HC.
答案:
(1)证明:∵ABCD为正方形,
∴∠CAB=∠ACB=45°,∠DCB=90°,
∴AB是⊙D的切线,A为切点,
∴∠BCE=∠CAP,
∴∠PAE=∠ACE,
∵∠AEP=∠AEC,
∴△PAE∽△ACE;
(2)解:∵∠CPF=∠CAP+∠ACP=∠CAP+∠BAP=45°,
∴∠COF=90°,
∴∠BOF=90°,
∴∠BOF=∠B=90°,
∴AB∥OF;
(3)解:∵AB∥OF,
∴BH:OH=AB:OF=2:1,
∵CO=OB=OH+HB,
∴BH:HC=2OH:4OH=1:2.
解析分析:(1)欲证△AEP∽△CEA,可以根据相似三角形的判断定理证明∠PAE=∠ACE,∠AEP=∠AEC得出;
(2)判断线段AB与OF的位置关系,根据平行线的判定证明∠B=∠ABC=90°得出AB∥OF;
(3)求BH:HC,由平行线的性质,及线段相互间的关系得出.
点评:此题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质,平行线的判定和性质的综合运用.
已知:如图 ABCD为正方形 以D点为圆心 AD为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O相交于P C两点 连接AC AP CP 井延长CP AP分别交AB BC ⊙O于E H