问题补充:
已知某物体的温度θ(单位:摄氏度)随时间t(单位:分钟)的变化规律是:θ=m?2t+21-t(t≥0,并且m>0).
(1)如果m=2,求经过多少时间,物体的温度为5摄氏度;
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围.
答案:
解:(1)依题意可得5=2?2t+21-t,
即2?(2t)2-5?2t+2=0.
亦即(2?2t-1)(2t-2)=0,
又∵t≥0,得2t=2,
∴t=1.
故经过1分钟该物体的温度为5摄氏度.
(2)问题等价于m?2t+21-t≥2(t≥0)恒成立.
∵m?2t+21-t=m?2t+2?2-t≥2,①
∴只需2≥2,
即m≥.
当且仅当?2t=2?2-t,
即t=1时,①式等号成立,
∴m的取值范围是[,+∞).
解析分析:(1)将m=2,θ=5代入θ=m?2t+21-t(t≥0)解指数方程即可求出t的值;(2)问题等价于m?2t+21-t≥2(t≥0)恒成立,求出m?2t+21-t的最小值,只需最小值恒大于等于2建立关系,解之即可求出m的范围.
点评:本题主要考查了不等式的实际应用,以及恒成立问题,同时考查了转化与划归的思想,属于中档题.
已知某物体的温度θ(单位:摄氏度)随时间t(单位:分钟)的变化规律是:θ=m?2t+21-t(t≥0 并且m>0).(1)如果m=2 求经过多少时间 物体的温度为5摄