问题补充:
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左.右焦点为F1、F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴.y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设=λ.
(Ⅰ)证明:λ=1-e2;
(Ⅱ)确定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形.
答案:
解:(Ⅰ)因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是(-,0)(0,a).
由得.这里c=.
所以点M的坐标是(-c,).由=λ得(-c+,)=λ(,a).
即.解得λ=1-e2.
(Ⅱ)因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,
要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,即|PF1|=c.
设点F1到l的距离为d,
由|PF1|═d===c,
得=e.
所以e2=,于是λ=1-e2=.
即当λ=时,△PF1F2为等腰三角形.
解析分析:(Ⅰ)因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是(-,0)(0,a).由题设知点M的坐标是(-c,).由=λ得(-c+,)=λ(,a).从而解得λ=1-e2.(Ⅱ)因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=c.由题设知当λ=时,△PF1F2为等腰三角形.
点评:本题考查直线和圆锥曲线的综合问题,解题时要认真审题,仔细求解,合理地运用公式.
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左.右焦点为F1 F2 离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴.y轴分别交于点A B M是直线l与椭圆C的一个公共点 P是点F1关于