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已知双曲线中心在原点O 焦点在X轴上 两条渐近线分别为L1 L2.经过右焦点F垂直于L1的

时间:2022-05-12 22:44:51

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已知双曲线中心在原点O 焦点在X轴上 两条渐近线分别为L1 L2.经过右焦点F垂直于L1的

问题补充:

已知双曲线中心在原点O,焦点在X轴上,两条渐近线分别为L1 L2.经过右焦点F垂直于L1的直线分别交L1 L2于A,B两点,已知向量OA、AB、OB的模成等差数列、且向量BF与FA同向.(1) 求双曲线的离心率(2)设AB被双曲线所截得线段长为4,求双曲线的方程:

答案:

(1)双曲线的渐近线方程为 y = (b/a)x ,y = -(b/a)x

由于直线AB垂直于L1,故直线AB的方程为:y = -(a/b)*(x - c)

这是因为两条垂直的平面直线其斜率的积是 -1.

将两条渐近线方程分别与直线AB的方程联立,求得A,B两点坐标

A((a^2)/c,ab/c) B((ca^2)/(a^2 - b^2),-abc/(a^2 - b^2))

已知向量OA、AB、OB的模成等差数列,故由直角三角形勾股定理的性质,不妨设:

OA = 3k AB = 4k OB = 5k 这里k等于某一非零正常数

固有:OA^2/OB^2 = 9/25,将A B的坐标代入,求得OA与OB,求得:

(a^2 + b^2)/(a^2 - b^2) = 5/3

整理得:离心率e = c/a = √5 / 2

(2) 由上问得到的结果,不妨再设:

a = 2m b = m c = √5m 这里m等于某一非零常数

因此双曲线方程可以写成:

x^2/4m^2 - y^2/m^2 = 1,再将直线AB的方程代入该式,经整理有:

15x^2 - 32√5x + 84m^2 = 0

x1 + x2 = m(32√5)/15 x1x2 = 84m/15

由于双曲线的弦长公式为:|x1 - x2|√(1 + k^2)

|x1 - x2| = √[(x1 + x2)^2 - 4x1x2]

将两根之和与两根之积的结果代入上式,得到:

弦长 = 4 = (4/3)m,m = 3

故双曲线方程为:x^2/36 - y^2/9 = 1

======以下答案可供参考======

供参考答案1:

(1)令|OA|=m,|OB|=n,|AB|=p,双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1

易知准线方程:y=bx/a或y=-bx/a,tan∠AOF=tan∠BOF=b/a

由题意:2p=m+n

m^2+p^2=n^2

所以 p/m=4/3

即 tan∠AOB=4/3

令 b/a=k

则 2k/(1-k^2)=4/3

k=1/2 即 b/a=1/2

所以c=√5*a/2,即离心率e=√5/2

(2)由题意:双曲线方程x^2/(4b^2)-y^2/b^2=1,F(√5b,0)

因为直线OA与AB垂直

所以 Kab=-2

所以直线AB方程:y=-2(x-√5b)

联立方程组消元得:

15x^2-32√5*bx+84b^2=0

令交点C(x1,y1),D(x2,y2)

x1+x2=32√5*b/15 x1x2=28b^2/5 |CD|=√5*|x1-x2|=√5*√[(x1+x2)^2-4x1x2]=4b/3=4 即 b=3 所以双曲线的方程x^2/36-y^2/9=1

已知双曲线中心在原点O 焦点在X轴上 两条渐近线分别为L1 L2.经过右焦点F垂直于L1的直线分别交

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