已知二次函数Y=ax^2+(4/3+3a)x+4交X轴于AB两点 与Y轴交于点C.是否存在实数a 使

问题补充：

已知二次函数Y=ax^2+(4/3+3a)x+4交X轴于AB两点,与Y轴交于点C.是否存在实数a,使得△ABC为直角三角形

答案：

设AB中点为点M(x,0),设点A坐标(xa,0),点B坐标(xb,0).

令x=0 得y=4,点C坐标(0,4),且A、B均不是原点.

函数与x轴有两交点,一元二次方程ax²+(4/3+3a)x+4=0二次项系数≠0,且判别式△>0△=(4/3+3a)²-16a>0整理,得(3a-4/3)²>0得a≠0且a≠4/9

由韦达定理得

xa+xb=-(4/3a+3)

xaxb=4/a

|AB|²=(xa-xb)²=(xa+xb)²-4xaxb

=[-(4/3a+3)]²-16/a

=(3-4/3a)²

点M横坐标x=-(2/3a+3/2)

要△ABC为直角三角形,只要|CM|=|AB|/2

4CM²=AB²

4[(2/3a+3/2)²+4²]=(3-4/3a)²

整理,得(4/3)(1/a)=-8

1/a=-6

a=-1/6

即存在实数a满足题意,当a=-1/6时,△ABC为直角三角形.