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目录-《多智能体系统一致性协同演化控制理论与技术》纪良浩

跳转链接第1章-多智能体系统一致性问题概述第2章-周期间歇脉冲控制下多智能体系统一致性第3章-有向二阶多智能体系统脉冲一致性第4章-具有随机扰动的多智能体系统脉冲一致性第5章-多智能体系统双阶脉冲一致性第6章-一阶时滞多智能体系统分组一致性第7章-二阶时滞多智能体系统分组一致性第8章-二阶连续时间多智能体系统加权一致性第9章-二阶连续时间时延多智能体系统加权一致性第10章-二阶离散时间时延多智能体系统加权一致性第11章-连续时间多智能体系统牵制一致性第12章-离散时间多智能体系统牵制一致性第13章-带输入时延的异构竞争多智能体系统分组一致性第14章-带通信和输入时延的异构竞争多智能体系统分组一致性第15章-基于竞争关系的离散异构多智能体系统分组一致性第16章-基于竞争-合作关系的离散异构多智能体系统分组一致性

第1章-多智能体系统一致性问题概述

智能体 (agent)

多智能体系统 (multi-agent system, MAS)

系统的系统 (system of system)

分布式人工智能 (distributed artificial intelligence, DAI)

群集 (swarming)

蜂拥 (flocking)

聚集 (rendezvous)

编队 (formation)

跟踪 (tracking)

一致性 (sonsensus)

无人机 (unmanned aerial vehicle, UAV)

Boid 模型

防撞 (collision avoidance)聚合 (flocking center)速度匹配 (velocity matching)

第2章-周期间歇脉冲控制下多智能体系统一致性

线性矩阵不等式 (LMI) 矩阵理论

Lyapunov-Rozumikhin 稳定性定理

Hopfiled 混沌神经网络

细胞神经网络

Lipschitz 条件

Dirac函数

均方下

Schur 补引理

计算复杂性为 O(n3)O(n^3)O(n3)

常见的时间复杂度按数量级递增排列依次为：常数 O⑴O⑴O⑴、对数阶 O(log⁡n)O(\log n)O(logn)、线形阶 O(n)O(n)O(n)、线形对数阶 O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)、平方阶 O(n2)O(n^2)O(n2) 立方阶 O(n3)O(n^3)O(n3)、…、kkk 次方阶 O(nk)O(n^k)O(nk)、指数阶 O(2n)O(2^n)O(2n)。显然，时间复杂度为指数阶 O(2n)O(2^n)O(2n) 的算法效率极低，当 nnn 值稍大时就无法应用。

Lyapunov-Rozumikhin 定理

代数图论理论

Halanay 不等式技巧

第3章-有向二阶多智能体系统脉冲一致性

第4章-具有随机扰动的多智能体系统脉冲一致性

第5章-多智能体系统双阶脉冲一致性

第6章-一阶时滞多智能体系统分组一致性

考虑如下一阶连续多智能体系统：

x˙i(t)=ui(t),i=1,2,⋯,N(6.1)\dot{x}_i(t) = u_i(t), \quad i=1,2,\cdots,N \tag{6.1}x˙i​(t)=ui​(t),i=1,2,⋯,N(6.1)

控制算法：

ui(t)=−∑vj∈Niaij(xj(t)+xi(t)),i=1,2,⋯,N(6.2)u_i(t) = -\sum_{v_j\in N_i} a_{ij} (\red{x_j}(t) + \red{x_i}(t)),\quad i=1,2,\cdots,N \tag{6.2}ui​(t)=−vj​∈Ni​∑​aij​(xj​(t)+xi​(t)),i=1,2,⋯,N(6.2)

ui(t)=−∑vj∈Niaij(xj(t−τ)+xi(t−τ)),i=1,2,⋯,N(6.3)u_i(t) = -\sum_{v_j\in N_i} a_{ij} (x_j(t-\red{\tau}) + x_i(t-\red{\tau})),\quad i=1,2,\cdots,N \tag{6.3}ui​(t)=−vj​∈Ni​∑​aij​(xj​(t−τ)+xi​(t−τ)),i=1,2,⋯,N(6.3)

ui(t)=−∑vj∈Niaij(xj(t−Tij)+xi(t−Ti)),i=1,2,⋯,N(6.4)u_i(t) = -\sum_{v_j\in N_i} a_{ij} (x_j(t-\red{T_{ij}}) + x_i(t-\red{T_i})),\quad i=1,2,\cdots,N \tag{6.4}ui​(t)=−vj​∈Ni​∑​aij​(xj​(t−Tij​)+xi​(t−Ti​)),i=1,2,⋯,N(6.4)

多智能体系统（6.1）在控制输入（6.4）的作用下，动力学方程为：

x˙i(t)=−∑vj∈Niaij(xj(t−Tij)+xi(t−Ti)),i=1,2,⋯,N(6.5)\dot{x}_i(t) = -\sum_{v_j\in N_i} a_{ij} (x_j(t-T_{ij}) + x_i(t-T_i)),\quad i=1,2,\cdots,N \tag{6.5}x˙i​(t)=−vj​∈Ni​∑​aij​(xj​(t−Tij​)+xi​(t−Ti​)),i=1,2,⋯,N(6.5)

第7章-二阶时滞多智能体系统分组一致性

包含 n+mn+mn+m 个智能体的二阶连续系统如下：

x˙i(t)=vi(t)v˙(t)=ui(t),i=1,2,⋯,m+n(7.1)\dot{x}_i(t) = v_i(t)\\ \dot{v}(t) = u_i(t),\quad i=1,2,\cdots,m+n \tag{7.1}x˙i​(t)=vi​(t)v˙(t)=ui​(t),i=1,2,⋯,m+n(7.1)

不同时滞影响下二阶系统的一致性协议：

ui(t)=α∑vj∈Niaij(xj(t−Tij)−xi(t−T))+β∑vj∈Niaij(vj(t−Tij)−vi(t−T)),i=1,2,⋯,N(7.2)\begin{aligned} u_i(t) = &\red{\alpha}\sum_{v_j\in N_i} a_{ij} (\red{x}_j(t-T_{ij}) - \red{x}_i(t-T)) + \\ &\red{\beta}\sum_{v_j\in N_i} a_{ij} (\red{v}_j(t-T_{ij}) - \red{v}_i(t-T)),\quad i=1,2,\cdots,N \tag{7.2} \end{aligned}ui​(t)=​αvj​∈Ni​∑​aij​(xj​(t−Tij​)−xi​(t−T))+βvj​∈Ni​∑​aij​(vj​(t−Tij​)−vi​(t−T)),i=1,2,⋯,N​(7.2)

α,β\alpha,\betaα,β 分别为该系统的耦合强度。

第8章-二阶连续时间多智能体系统加权一致性

二阶连续系统如下：

x˙i(t)=vi(t)v˙(t)=ui(t),i=1,2,⋯,N(8.1)\dot{x}_i(t) = v_i(t)\\ \dot{v}(t) = u_i(t),\quad i=1,2,\cdots,N \tag{8.1}x˙i​(t)=vi​(t)v˙(t)=ui​(t),i=1,2,⋯,N(8.1)

控制协议如下：

ui(t)=1bi[α∑vj∈Nieij(xj(t)−xi(t))+β∑vj∈Nieij(vj(t)−vi(t))],i=1,2,⋯,N(8.2)\begin{aligned} u_i(t) = &\red{\frac{1}{b_i}}[\alpha\sum_{v_j\in N_i} e_{ij} (x_j(t) - x_i(t)) + \\ &\beta\sum_{v_j\in N_i} e_{ij} (v_j(t) - v_i(t))],\quad i=1,2,\cdots,N \tag{8.2} \end{aligned}ui​(t)=​bi​1​[αvj​∈Ni​∑​eij​(xj​(t)−xi​(t))+βvj​∈Ni​∑​eij​(vj​(t)−vi​(t))],i=1,2,⋯,N​(8.2)

bib_ibi​ 为多智能体系统中节点 viv_ivi​ 的节点权重。

第9章-二阶连续时间时延多智能体系统加权一致性

控制协议如下：

ui(t)=α∑vj∈Nieij(xj(t−Tij)−xi(t−T))+β∑vj∈Nieij(vj(t−Tij)−vi(t−T))(9.1)\begin{aligned} u_i(t) = &\alpha\sum_{v_j\in N_i} e_{ij} (x_j(t-T_{ij}) - x_i(t-T)) + \\ &\beta\sum_{v_j\in N_i} e_{ij} (v_j(t-T_{ij}) - v_i(t-T)) \tag{9.1} \end{aligned}ui​(t)=​αvj​∈Ni​∑​eij​(xj​(t−Tij​)−xi​(t−T))+βvj​∈Ni​∑​eij​(vj​(t−Tij​)−vi​(t−T))​(9.1)

有时延影响下一阶系统的加权分组一致性：

ui(t)=−1bi[(1−α)∑vj∈Nieij(xi(t)+xj(t))+α∑vj∈Nieij(xi(t−τ)+xj(t−τ))](9.2)\begin{aligned} u_i(t) = &-\frac{1}{b_i}[(1-\alpha)\sum_{v_j\in N_i} e_{ij} (x_i(t) + x_j(t)) + \\ &\alpha\sum_{v_j\in N_i} e_{ij} (x_i(t-\tau) + x_j(t-\tau))]\tag{9.2} \end{aligned}ui​(t)=​−bi​1​[(1−α)vj​∈Ni​∑​eij​(xi​(t)+xj​(t))+αvj​∈Ni​∑​eij​(xi​(t−τ)+xj​(t−τ))]​(9.2)

受此（9.2）影响，提出二阶一致性输入为：

ui(t)=1bi[α∑vj∈Nieij(xj(t−T)−xi(t−T))+β∑vj∈Nieij(vj(t−T)−vi(t−T))](9.3)\begin{aligned} u_i(t) = &{\frac{1}{b_i}}[{\alpha}\sum_{v_j\in N_i} e_{ij} (x_j(t-\red{T}) - x_i(t-\red{T})) + \\ &{\beta}\sum_{v_j\in N_i} e_{ij} (v_j(t-\red{T}) - v_i(t-\red{T}))]\tag{9.3} \end{aligned}ui​(t)=​bi​1​[αvj​∈Ni​∑​eij​(xj​(t−T)−xi​(t−T))+βvj​∈Ni​∑​eij​(vj​(t−T)−vi​(t−T))]​(9.3)

第10章-二阶离散时间时延多智能体系统加权一致性

包含 nnn 个智能体的二阶时间多智能体系统如下：

xi(k+1)=xi(k)+vi(k)vi(k+1)=vi(k)+ui(k)\begin{aligned} x_i(k+1) = x_i(k) + v_i(k)\\ v_i(k+1) = v_i(k) + u_i(k) \end{aligned}xi​(k+1)=xi​(k)+vi​(k)vi​(k+1)=vi​(k)+ui​(k)​

本章提出时延影响下的二阶离散时间多智能体系统加权一致性控制协议如下：

ui(t)=1bi[α∑vj∈Nieij(xj(t−T)−xi(t−T))+β∑vj∈Nieij(vj(t−T)−vi(t−T))]u_i(t) = \frac{1}{b_i} [ \alpha\sum_{v_j\in N_i}e_{ij}(x_j(t-T) - x_i(t-T)) + \beta\sum_{v_j\in N_i }e_{ij}(v_j(t-T)-v_i(t-T)) ]ui​(t)=bi​1​[αvj​∈Ni​∑​eij​(xj​(t−T)−xi​(t−T))+βvj​∈Ni​∑​eij​(vj​(t−T)−vi​(t−T))]

第11章-连续时间多智能体系统牵制一致性

考虑包含 NNN 个智能体的一阶连续多智能体系统，其动力学方程如下所示：

x˙i(t)=ui(t),ui(t)=∑j=1Naij(xj(t)−xi(t)),i=1,2,⋯,N\dot{x}_i(t) = u_i(t),\\ u_i(t) = \sum_{j=1}^N a_{ij}(x_j(t)-x_i(t)),\quad i=1,2,\cdots, Nx˙i​(t)=ui​(t),ui​(t)=j=1∑N​aij​(xj​(t)−xi​(t)),i=1,2,⋯,N

考虑包含 NNN 个节点的一阶连续时间多智能体系统，且系统各节点的动力学方程如下：

x˙i(t)=c∑j=1NGijΓ(xj(t)−xi(t)),i=1,2,⋯,N\dot{x}_i(t) = c\sum_{j=1}^N G_{ij} \Gamma(x_j(t)-x_i(t)),\quad i=1,2,\cdots,Nx˙i​(t)=cj=1∑N​Gij​Γ(xj​(t)−xi​(t)),i=1,2,⋯,N

其中，c>0c>0c>0 为耦合强度，Γ∈Rn×n\Gamma\in\mathbb{R}^{n\times n}Γ∈Rn×n 为内部耦合矩阵且 Γ>0\Gamma>0Γ>0，GijG_{ij}Gij​ 为邻接矩阵 G∈RN×NG\in\mathbb{R}^{N\times N}G∈RN×N 的相应元素。

第12章-离散时间多智能体系统牵制一致性

一阶离散时间多智能体系统，其控制协议为

x˙i(k+1)=xi(k)+ui(t),ui(t)=ε∑vj∈Niaij(xj(t)−xi(t))\dot{x}_i(k+1) = x_i(k) + u_i(t),\\ u_i(t) = \varepsilon\sum_{v_j\in N_i} a_{ij}(x_j(t)-x_i(t))x˙i​(k+1)=xi​(k)+ui​(t),ui​(t)=εvj​∈Ni​∑​aij​(xj​(t)−xi​(t))

其中，

第13章-带输入时延的异构竞争多智能体系统分组一致性

同构的多智能体系统，这就意味着所有智能体都具有相同的动力学行为。

考虑由 q+pq+pq+p 个智能体组成的离散时间异构多智能体系统。为方便讨论，假设多智能体系统被分为2个子组。假设前 qqq 个智能体是二阶的，剩余的 ppp 个智能体是一阶的。它们的动力学方程如下：

{xi(k+1)=xi(k)+vi(k)vi(k+1)=vi(k)+ui(k),i∈φ1xi(k+1)=xi(k)+vi(k),i∈φ2\left\{\begin{aligned} x_i(k+1) = x_i(k) + v_i(k)\\ v_i(k+1) = v_i(k) + u_i(k) \end{aligned}\right., i\in \varphi_1 \\ x_i(k+1) = x_i(k)+v_i(k), i\in \varphi_2 {xi​(k+1)=xi​(k)+vi​(k)vi​(k+1)=vi​(k)+ui​(k)​,i∈φ1​xi​(k+1)=xi​(k)+vi​(k),i∈φ2​

根据竞争关系建立的异构多智能体系统的新分组控制协议设计如下：

{xi(k+1)=xi(k)+vi(k)vi(k+1)=−α[∑j∈Niaij(xi(k−τ)+xj(k−τ))]−β[∑j∈Niaij(vi(k−τ)+vj(k−τ))]+vi(k),i∈φ1\left\{\begin{aligned} x_i(k+1) = x_i(k) + v_i(k) \\ v_i(k+1) = -\alpha [\sum_{j\in N_i} a_{ij}(x_i(k-\tau) + x_j(k-\tau))] &\\ -\beta [\sum_{j\in N_i} a_{ij}(v_i(k-\tau) + v_j(k-\tau))] + v_i(k) \end{aligned}\right. ,i\in\varphi_1 ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧​xi​(k+1)=xi​(k)+vi​(k)vi​(k+1)=−α[j∈Ni​∑​aij​(xi​(k−τ)+xj​(k−τ))]−β[j∈Ni​∑​aij​(vi​(k−τ)+vj​(k−τ))]+vi​(k)​​,i∈φ1​

{vi(k+1)=−β[∑j∈Niaij(xi(k−τ)+xj(k−τ))]+wi(k)+xi(k)wi(k+1)=−α[∑j∈Niaij(xi(k−τ)+xj(k−τ))]+wi(k),i∈φ2\left\{\begin{aligned} v_i(k+1) = -\beta[\sum_{j\in N_i} a_{ij}(x_i(k-\tau) + x_j(k-\tau))] + w_i(k) + x_i(k) \\ w_i(k+1) = -\alpha [\sum_{j\in N_i} a_{ij}(x_i(k-\tau) + x_j(k-\tau))] + w_i(k) \end{aligned}\right. ,i\in\varphi_2 ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​vi​(k+1)=−β[j∈Ni​∑​aij​(xi​(k−τ)+xj​(k−τ))]+wi​(k)+xi​(k)wi​(k+1)=−α[j∈Ni​∑​aij​(xi​(k−τ)+xj​(k−τ))]+wi​(k)​,i∈φ2​

其中，wi(k)w_i(k)wi​(k) 为第 iii 个一阶智能体的虚拟速度估计。

第14章-带通信和输入时延的异构竞争多智能体系统分组一致性

在本章中，假设一个由 n+mn+mn+m 个智能体组成的异构多智能体系统，其中包含一阶和二阶动力学智能体。为了方便，假设前 nnn 个和剩下的 mmm 个智能体分别具有二阶和一阶动力学特性的智能体，那么系统的动力学方程可以描述如下：

{{x˙i(t)=vi(t)v˙i(t)=ui(t),i∈g1x˙i(t)=ui(t),i∈g2\left\{\begin{aligned} \left\{\begin{aligned} \dot{x}_i(t) = v_i(t) \\ \dot{v}_i(t) = u_i(t) \\ \end{aligned}\right. , i\in g_1 \\ \dot{x}_i(t) = u_i(t) , i\in g_2\\ \end{aligned}\right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​{x˙i​(t)=vi​(t)v˙i​(t)=ui​(t)​,i∈g1​x˙i​(t)=ui​(t),i∈g2​​

在文献 [18] 中，作者研究了具有相同输入时延的异构多智能体系统的分组一致性。系统描述如下：

{x˙i(t)=vi(t)v˙i(t)=∑j∈g1aij(xj(t−τ)−xi(t−τ))+∑j∈g2aijxj(t−τ)+∑j∈g1aij(vj(t−τ)−vi(t−τ))+∑j∈g2aijvj(t−τ),i∈g1\left\{\begin{aligned} \dot{x}_i(t) = v_i(t) \\ \dot{v}_i(t) = \sum_{j\in g_1} a_{ij}(x_j(t-\tau) - x_i(t-\tau)) + \sum_{j\in g_2} a_{ij}x_j(t-\tau) \\ +\sum_{j\in g_1} a_{ij}(v_j(t-\tau) - v_i(t-\tau)) + \sum_{j\in g_2} a_{ij}v_j(t-\tau) \end{aligned}\right. ,i\in g_1⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧​x˙i​(t)=vi​(t)v˙i​(t)=j∈g1​∑​aij​(xj​(t−τ)−xi​(t−τ))+j∈g2​∑​aij​xj​(t−τ)+j∈g1​∑​aij​(vj​(t−τ)−vi​(t−τ))+j∈g2​∑​aij​vj​(t−τ)​,i∈g1​

{x˙i(t)=vi(t−τ)+∑j∈g2aij(xj(t−τ)−xi(t−τ))+∑j∈g1aijxj(t−τ)v˙i(t)=∑j∈g2aij(xj(t)−xi(t))+∑j∈g1aijxj(t),i∈g2\left\{\begin{aligned} \dot{x}_i(t) = v_i(t-\tau) + \sum_{j\in g_2} a_{ij}(x_j(t-\tau) - x_i(t-\tau)) + \sum_{j\in g_1} a_{ij}x_j(t-\tau) \\ \dot{v}_i(t) = \sum_{j\in g_2} a_{ij} (x_j(t) - x_i(t)) + \sum_{j\in g_1}a_{ij}x_j(t) \end{aligned}\right. ,i\in g_2⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​x˙i​(t)=vi​(t−τ)+j∈g2​∑​aij​(xj​(t−τ)−xi​(t−τ))+j∈g1​∑​aij​xj​(t−τ)v˙i​(t)=j∈g2​∑​aij​(xj​(t)−xi​(t))+j∈g1​∑​aij​xj​(t)​,i∈g2​

第15章-基于竞争关系的离散异构多智能体系统分组一致性

合作关系使得相邻节点相互靠近，竞争关系使得相邻节点相互远离。

{xi(k+1)=xi(k)+vi(k)vi(k+1)=vi(k)+ui(k),i∈σ1xl(k+1)=xl(k)+ul(k),l∈σ2\left\{\begin{aligned} x_i(k+1) = x_i(k) + v_i(k)\\ v_i(k+1) = v_i(k) + u_i(k) \end{aligned}\right., i\in \sigma_1 \\ x_l(k+1) = x_l(k)+u_l(k), l\in \sigma_2 {xi​(k+1)=xi​(k)+vi​(k)vi​(k+1)=vi​(k)+ui​(k)​,i∈σ1​xl​(k+1)=xl​(k)+ul​(k),l∈σ2​

基于竞争的一致性控制协议，如下所示：

ui(k)=−α[∑j∈Niaij(xj(k−τij)+xi(k−τi))]−βvi(k−τi),i∈σ1u_i(k) = -\alpha [\sum_{j\in N_i} a_{ij}(x_j(k-\tau_{ij}) + x_i(k-\tau_i))] - \beta v_i(k-\tau_i), i\in \sigma_1 ui​(k)=−α[j∈Ni​∑​aij​(xj​(k−τij​)+xi​(k−τi​))]−βvi​(k−τi​),i∈σ1​

ul(k)=−γ[∑j∈Nlalj(xj(t−τlj)+xl(k−τi))],l∈σ2u_l(k) = -\gamma [\sum_{j\in N_l} a_{lj}(x_j(t-\tau_{lj}) + x_l(k-\tau_i))], l\in \sigma_2 ul​(k)=−γ[j∈Nl​∑​alj​(xj​(t−τlj​)+xl​(k−τi​))],l∈σ2​

第16章-基于竞争-合作关系的离散异构多智能体系统分组一致性

考虑采样周期 TTT 的系统动力学方程如下：

{xi(k+1)=xi(k)+Tvi(k)vi(k+1)=vi(k)+Tui(k),i∈σ1xl(k+1)=xl(k)+Tul(k),l∈σ2\left\{\begin{aligned} x_i(k+1) = x_i(k) + Tv_i(k)\\ v_i(k+1) = v_i(k) + Tu_i(k) \end{aligned}\right., i\in \sigma_1 \\ x_l(k+1) = x_l(k)+Tu_l(k), l\in \sigma_2 {xi​(k+1)=xi​(k)+Tvi​(k)vi​(k+1)=vi​(k)+Tui​(k)​,i∈σ1​xl​(k+1)=xl​(k)+Tul​(k),l∈σ2​

利用同一分组内部智能体间合作靠近和不同分组间智能体竞争远离的理想，本章设计了如下控制协议以使异构多智能体系统达到分组一致：

ui(k)=α[∑j∈NSiaij(xj(k−τij)−xi(k−τi))−∑j∈NDiaij(xj(k−τij)+xl(k−τi))]−βvi(k−τi),i∈σ1u_i(k) = \alpha [\sum_{j\in N_{Si}} a_{ij} (x_j(k-\tau_{ij}) - x_i(k-\tau_i)) - \sum_{j\in N_{Di}} a_{ij}(x_j(k-\tau_{ij}) + x_l(k-\tau_i))] - \beta v_i(k-\tau_i) , i\in \sigma_1 ui​(k)=α[j∈NSi​∑​aij​(xj​(k−τij​)−xi​(k−τi​))−j∈NDi​∑​aij​(xj​(k−τij​)+xl​(k−τi​))]−βvi​(k−τi​),i∈σ1​

ul(k)=γ[∑j∈NSlalj(xj(k−τlj)−xl(k−τl))−∑j∈NDlalj(xj(k−τlj)+xl(k−τl))],l∈σ2u_l(k) = \gamma [\sum_{j\in N_{Sl}} a_{lj}(x_j(k-\tau_{lj}) - x_l(k-\tau_l)) - \sum_{j\in N_{Dl}} a_{lj} (x_j(k-\tau_{lj}) + x_l(k-\tau_l))], l\in \sigma_2 ul​(k)=γ[j∈NSl​∑​alj​(xj​(k−τlj​)−xl​(k−τl​))−j∈NDl​∑​alj​(xj​(k−τlj​)+xl​(k−τl​))],l∈σ2​

其中，NSiN_{Si}NSi​ 和 NDiN_{Di}NDi​ 分别为一阶节点 iii 的相同分组邻居节点和不同分组邻居节点；

对于二阶节点 l,NSl,NDl,τljl, N_{Sl}, N_{Dl}, \tau_{lj}l,NSl​,NDl​,τlj​ 和 τl\tau_lτl​ 具有相对应的意义。