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1、DFT泄露原因2、DFT的频率轴1、以Hz为单位的频率轴2、以Fs归一化的DFT频率轴3、使用归一化角度的DFT频率轴1、DFT泄露原因
一个被称之为“”泄露“”的特性使得DFT结果只是数字采样前原始输入信号真实谱的近似。
我们知道分析频率是 f(analysis)=(mFs)/N (m取整数)
如果输入信号在分析频率mFs/N上存在信号分量，如1.5Fs/N（m非整数的地方），那么在某种程度上这个输入信号将会在DFT所有N个输出分析频率样值上出现。
clear;%清除内存close all;%关闭所有图形x=sin(2*pi*(0:63)*3/64);%产生某时段的正弦信号；连续信号频率3 采样频率10figure;plot(x);%画图grid on;%并打网格title('时域可分信号','FontSize',14);ylabel('x(n)','FontSize',14);xlabel('n','FontSize',14);%标注X轴，Y轴坐标xf=fft(x,64);%FFT(X,N)是N点的FFT，如果X小于0，就用0填充figure;plot((0:63)*64/64,abs(xf(1:64)));grid on;%画图xlabel('KHZ','FontSize',14);ylabel('信号频谱','FontSize',14);%标注XY轴坐标title('信号频谱','FontSize',14);
下面把连续信号改为3.4，频谱精度为1，这样分辨率就不够了，产生了泄露，从公式上来讲m只能取整数，取不到3.4。
clear;%清除内存close all;%关闭所有图形x=sin(2*pi*(0:63)*3.4/64);%产生某时段的正弦信号；连续信号频率3.4 采样频率64figure;plot(x);%画图grid on;%并打网格title('时域可分信号','FontSize',14);ylabel('x(n)','FontSize',14);xlabel('n','FontSize',14);%标注X轴，Y轴坐标xf=fft(x,64);%FFT(X,N)是N点的FFT，如果X小于0，就用0填充figure;plot((0:63)*64/64,abs(xf(1:64)));grid on;%画图xlabel('KHZ','FontSize',14);ylabel('信号频谱','FontSize',14);%标注XY轴坐标title('信号频谱','FontSize',14);
现在我们再来更改输入序列，看是否会导致频谱泄露。
现在把输入序列的点数改为201个点，大于了做FFT的64个点。分辨率是1hz
clear;%清除内存close all;%关闭所有图形x=sin(2*pi*(0:200)*3/64);%产生某时段的正弦信号；连续信号频率3 采样频率64figure;plot(x);%画图grid on;%并打网格title('时域可分信号','FontSize',14);ylabel('x(n)','FontSize',14);xlabel('n','FontSize',14);%标注X轴，Y轴坐标xf=fft(x,64);%FFT(X,N)是N点的FFT，如果X小于0，就用0填充figure;stem((0:63)*64/64,abs(xf(1:64)));grid on;%画图xlabel('KHZ','FontSize',14);ylabel('信号频谱','FontSize',14);%标注XY轴坐标title('信号频谱','FontSize',14);
并不产生DFT泄露。
下面，我们再把输入序列的点数小于做FFT的点数。改为61个输入序列点,发生泄露
clear;%清除内存
close all;%关闭所有图形
x=sin(2pi(0:60)*3/64);%产生某时段的正弦信号；连续信号频率0.5 采样频率10
figure;
plot(x);%画图
grid on;%并打网格
title(‘时域可分信号’,‘FontSize’,14);
ylabel(‘x(n)’,‘FontSize’,14);
xlabel(‘n’,‘FontSize’,14);%标注X轴，Y轴坐标
xf=fft(x,64);%FFT(X,N)是N点的FFT，如果X小于0，就用0填充
figure;
plot((0:63)*64/64,abs(xf(1:64)));
grid on;%画图
xlabel(‘KHZ’,‘FontSize’,14);
ylabel(‘信号频谱’,‘FontSize’,14);%标注XY轴坐标
title(‘信号频谱’,‘FontSize’,14);
下面我们把采样率也改改，看与FFT的点数有什么关系么？
clear;%清除内存
close all;%关闭所有图形
x=sin(2pi(0:63)*3.5/32);%产生某时段的正弦信号；连续信号频率3.5 采样频率32
figure;
plot(x);%画图
grid on;%并打网格
title(‘时域可分信号’,‘FontSize’,14);
ylabel(‘x(n)’,‘FontSize’,14);
xlabel(‘n’,‘FontSize’,14);%标注X轴，Y轴坐标
xf=fft(x,64);%FFT(X,N)是N点的FFT，如果X小于0，就用0填充
figure;
plot((0:63)*32/64,abs(xf(1:64)));
grid on;%画图
xlabel(‘KHZ’,‘FontSize’,14);
ylabel(‘信号频谱’,‘FontSize’,14);%标注XY轴坐标
title(‘信号频谱’,‘FontSize’,14);
通过上面的实际仿真，我们验证了DFT泄露有两种原因， 第一原因，就是Fs/N分辨率不够。 第二原因，就是输入序列的点数小于了做FFT的点数。
特别提醒：与输入序列是不是一个周期没有关系！，这种情况依然能够输出正常的DFT。 输入序列是一个完整周期或者非完整周期均可。你不信！我们实验数据来看看。 下面是输入序列N=71个点。肯定不是整的周期吧
**下面是频谱，清晰可见！没有泄露！！！！！**这里只取了一半
所以，我们可以得出造成泄露的两大原因：1，点数小于了FFT点数。2 分辨率不够 另外，我们再想一下那个公式k代表啥k，就是代表的就是真实模拟频率！模拟频率如果刚好等于频谱数字化的频率m，落在了分辨率上，那么，就不会造成泄露！
实际信号中，我们的信号频率不可能刚好在一个整数上，说不定是3.11111111hz，不可能刚好精确3hz，所以必然产生分辨力不够的问题，从而必然产生DFT泄露。
这里，我还要额外补充一点，书中说，周期输入信号和非周期输入信号也会导致DFT泄露，这一点，其实是这样的，如果点数足够大于了FFT点数，且满足了频率分辨率的情况下，确实是存在这样的情况，由周期影响，但是，现实生活中，由于噪声总是存在的，根本就没有理想的周期信号，所以一段看似周期的信号都是不能代表原始信号的，所以必然存在频谱泄露。
2、DFT的频率轴
1、以Hz为单位的频率轴
以HZ为单位，Fs/N，即为分辨率，长度为Fs为一个周期循环。
2、以Fs归一化的DFT频率轴
以Fs归一化的DFT，需要将信号的频率f /Fs 进行归一化，最大频率为1，以1为一个循环，分辨率是1/N，单位为周期/样值。
3、使用归一化角度的DFT频率轴
频率变量为w，频率分辨率是2π/N，重复间隔是2π，以2π为一个循环。
