上篇博文我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系，简单地说，DFT就是DFS在一个周期内的表现。
为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式(分析公式)：
(1)
其中：
综合公式：
(2)
为了对比，给出DFT的分析公式：
(3)
(4)
综合公式：
(5)
(6)
下面讨论DFS和 z 变换之间的关系：
设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，
(7)
那么，能求它的 z 变换为：
(8)
现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列
，即
(9)
的DFS给出为：
(10)
将(10)式与 z 正变换公式(8)比较后，得到：
(11)
这就是说，DFS
代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
接着讨论DFS和DTFT的关系。
我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：
先给出DTFT的公式：
(12)
对比z变换的公式(8)，不难看出：
(13)
为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。
从(13)式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。
上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS
代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS
是对DTFT
上的等间隔采样。采样间隔为
，下面我们正式推导二者间的关系。
式(12)为:
DFS为：
可以看出，
(14)
令
(15)
这样，
(16)
这意味着 DFS 可以通过以
为间隔对DTFT均匀采样而得到。
由式子(13)：
以及式子(14)：
可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。
间隔
是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。
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