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dft计算傅里叶级数系数_傅里叶级数（FS）以及FT DTFT DFS和DFT

时间：2024-01-28 13:59:03

傅里叶级数(FS)

周期为 T 的函数$f(t),\ \ \omega=\frac{2\pi}{T}$. 正交基为$\{ e^{jn\omega t} \},n=0,\pm1,\pm2,\cdots$。

f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{-j\omega nt}\\

C_n=\frac{}{}=\frac{\int_Tf(t)e^{-jn\omega t}dt}{\int_T e^{jn\omega t}e^{-jn\omega t}dt}=\frac{1}{T}\int_Tf(t)e^{-jn\omega t}dt

连续时间的傅里叶变换(FT)

F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j\omega t}dt \\

f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{j\,\omega t}d\omega

离散时间序列的傅里叶变换(DTFT)

它用于离散非周期序列分析对应频域连续周期(周期为 $2\pi$)，条件是 $x(n)$ 绝对可和或者能量有限，即 $\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|< \infty \qquad \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|^2< \infty $。

$$ X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega \,n} \qquad (1) \\x(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega \qquad (2) $$

式(1)中，$\omega$ 为数字角频率，它是模拟域频率 $\Omega$ 对采样频率 $f_s$ 的归一化，即 $\omega = \Omega T_s = \Omega / f_s $

Z变换

由$\quad z = e^{j\omega} \ $代入上式得

$$ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} $$

周期序列的离散傅里叶级数(DFS)

x(n) 是周期为 N 的周期序列，可以看做X(k)的傅里叶级数频域展开，离散周期 ---> 周期离散，周期都为N。

$$ \tilde X (k)=\sum_{n=0}^{N-1} \tilde x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}=\sum_{n=0}^{N-1}\tildex(n)W_{N}^{nk} \qquad \qquad k \in \mathbb{Z} \\ \tildex(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\tildeX(k)e^{j\frac{2\pi}{N}nk}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\tildeX(k)W_N^{-nk} \qquad \qquadn \in \mathbb{Z}\\ W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}} $$

有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)

x(n) 为有限长序列，长度为 N 。其他值都为 0 。

$$ X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{-nk} \qquad 0\leqslant k \leqslant N-1 \\ x(n) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-nk} \qquad 0\leqslant n \leqslant N-1 $$

DFT 与 DTFT 、z变换的关系

$$ X(k) =X(e^{j\omega})|_{\omega =\frac{2\pi}{N}k} \\ X(k) = X(z)|_{z=W_N^{-k}} $$

Matlab仿真信号的抽样，CFT，DFT 和 FFT

ts=0.5; %采样时间间隔

df=1.0;

fs = 1/ts; %采样频率

n2 = 50/ts; %time=[0,50]之间采样

n1 = fs/df;

N = 2^(max(nextpow2(n1),nextpow2(n2))); %nextpow2(N) returns the first P such that 2.^P >= abs(N).

%当序列是2的幂次方时，FFT高效

df = fs/N; %设置分辨率

t = 0:0.01:50;