开的这个坑大概就是写写从另一个视角来看快速离散傅里叶变换FFT。oi当中常见的FFT的推导方法是从多项式乘法出发，作为多项式乘法的优化算法出现，关于多项式的相关理论详见Miskcoo大佬的blog从多项式乘法到快速傅里叶变换 - Miskcoo's Space，写的十分详细。
在这个专题下，将会依次讲解傅里叶级数FS，傅里叶变换FT，离散时间傅里叶变换DTFT，离散傅里叶变换DFT。主要是参考wys在WC上讲课的课件。
首先在这篇文章中介绍傅里叶级数的相关内容。傅里叶级数作为一种周期函数的无穷级数展开，它将周期函数表示为正弦函数和余弦函数构成的级数。正如泰勒级数将连续且在
处任意阶可导的函数表示为
这样由幂函数构成的级数一样，傅里叶级数将周期函数表示为
，其中角频率
，
为
的周期。对于周期函数，可以很容易地联想到最典型的正余弦函数，而且它们的周期大小是十分易于调整的，这也就启发我们去使用它们来表示各类周期函数。
一、正交性
傅里叶级数的基础是三角函数系
的正交性。正交是对于线性无关的抽象概念，类比向量正交即为内积等于零的概念，函数的正交同样采用内积等于零来判断。
现定义两个实函数
的内积。若
在闭区间
上可积且平方可积，则它们的内积
。
在
上，三角函数系是两两正交的，它们满足如下性质，
前两个式子显然成立，后三个式子的推导主要是利用积化和差公式，在这里给出最后一个式子的推导过程。
由此可以得到三角函数系
在
上同样正交。
二、展开为傅里叶级数
傅里叶级数表示为
，其中需要求出的是展开后的系数
。
首先考虑最为特殊的
，对上式两侧同时从
到
积分，可以由三角函数系的正交性发现求和号内的项均为0，
因而得到
，
求出
。
然后要求的是除
外的其余系数
。先求
，在等号两侧同乘
，再同时从
到
积分，同样是由三角函数的正交性，可以得到等号右侧除了
不为0外，其余项皆等于0。
于是便有
，
计算得
。
对于
也是采取类似的方法，得
。
同样满足
的等式，这便是傅里叶级数当中写成
而非
的目的所在。因而可以将所有情况综合起来写为
，
。
三、傅里叶级数的收敛性
与其它的级数展开相同，傅里叶级数同样需要判断收敛性，若级数不收敛于
，则不能在两者之间画等号。关于傅里叶级数的收敛性目前没有它的充分必要条件，只有一些可以用来判断收敛的充分不必要条件。其中最常用的为狄利克雷条件对于一个周期为
的函数
，如果它满足：
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；
(2)在一个周期内只有有限个极值点。
那么
的傅里叶级数收敛于
。
狄利克雷条件只是傅里叶级数收敛的充分条件，而非必要条件，级数收敛不代表该条件成立。
由以上推导，我们便可以写出一个周期函数的傅里叶级数。
例如周期为
的函数
，在
上
，求
的傅里叶级数。
狄利克雷条件显然成立，所以
。
四、傅里叶级数的指数形式
通过观察傅里叶级数的形式，不难发现它的每一项与欧拉公式的形式十分相似，可以通过代数变形来使用复指数表示傅里叶级数。
令
表示虚数单位，傅里叶级数的指数形式为
其中
指数形式与三角形式是相等的，推导如下
五、傅里叶级数的几何意义
关于傅里叶级数的几何意义，可以类比向量基底的概念。在欧几里得空间当中，可以通过选取一组正交基，使得空间内的所有向量都可以由这组正交基线性表出。
傅里叶级数是利用三角函数系的正交性，通过这样一组正交基张成了函数空间，将这个函数空间当中的函数全部表示为三角函数的线性组合。
考虑傅里叶级数的系数
，令
，
，则系数可以写作
，
。正如向量空间当中基底分解的系数为
，其中
为基向量，傅里叶级数所做的就是将函数
投影到三角函数系这样一组正交基上，通过这组基线性表出
。
六、傅里叶级数的物理意义
如果将
看作是一个周期信号，则傅里叶级数将
分解到各个频率的正余弦波之上。
例如
表示如下信号
傅里叶级数将其分解为以下四种信号
傅里叶级数的局限性在于其只适用于周期函数 ，对于非周期函数我们需要更为强大的工具，通过对傅里叶级数的推广将会得到适用范围更加广泛的傅里叶变换。
