题目来源：牛客网-剑指Offer专题
题目地址：斐波那契数列
题目描述
大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。n<=39
题目解析
方法一：
普通递归版求法，这种方法通常和汉诺塔一起被放在课本的递归教学部分，应该是面试官不希望看到的算法。
F(n)={0,n=01,n=1,2F(n−1)+F(n−2),n>2F(n) = \begin{cases} 0, & \text {n=0} \\ 1, & \text {n=1,2} \\ F(n-1)+F(n-2), & \text{n>2} \end{cases} F(n)=⎩⎪⎨⎪⎧0,1,F(n−1)+F(n−2),n=0n=1,2n>2
利用上面递推式，自顶向下进行求解，因为存在大量的重叠子问题，时间复杂度为 O(2n)O(2^n)O(2n)。
public class Solution {public int Fibonacci(int n) {if (n == 0) return 0;if (n == 1) return 1;return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);}}
方法二：
我们可以将递推式的求解从自顶向下改为自底向上（循环实现）。简而言之，我们已知前两项的值，然后我们就可以用前两项的值求出第3项的值，接着求第4、第5、……，直到求出第n项的值。（废话）
实现过程如下图所示，两个相同颜色的箭头可以确定一个新的数列项。
上述算法的时间复杂度为 O(n)O(n)O(n)，在面试中够用了，如果还是觉得简单可以继续往下看。
public class Solution {public int Fibonacci(int n) {if (n == 0) {return 0;}int a = 1, b = 1;for (int i = 1; i <= n - 2; i++) {a = a + b;b = a - b;}return a;}}
方法三：
我们知道：
F(n)=F(n−1)+F(n−2)F(n−1)=F(n−1)+0∗F(n−2)F(n)=F(n-1)+F(n-2) \\ F(n-1)=F(n-1)+0*F(n-2) F(n)=F(n−1)+F(n−2)F(n−1)=F(n−1)+0∗F(n−2)
将其转化成矩阵运算可得
(F(n)F(n−1))=(1110)∗(F(n−1)F(n−2))\begin{pmatrix} F(n) \\ F (n-1)\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&0 \\ \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} F(n-1) \\F(n-2)\\ \end{pmatrix} (F(n)F(n−1))=(1110)∗(F(n−1)F(n−2))
而右边的2×12\times12×1阶矩阵又可以进一步分解为
(F(n−1)F(n−2))=(1110)∗(1110)∗(F(n−2)F(n−3))\begin{pmatrix} F(n-1) \\ F (n-2)\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&0 \\ \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&0 \\ \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} F(n-2) \\F(n-3)\\ \end{pmatrix} (F(n−1)F(n−2))=(1110)∗(1110)∗(F(n−2)F(n−3))
按照这样一直分解下去直到右边的2×12\times12×1阶矩阵F(2),F(1),即
(F(n)F(n−1))=(1110)n−2∗(F(2)F(1))\begin{pmatrix} F(n) \\ F (n-1)\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1 \\ 1&0 \\ \end{pmatrix}^{n-2}* \begin{pmatrix} F(2) \\F(1)\\ \end{pmatrix} (F(n)F(n−1))=(1110)n−2∗(F(2)F(1))
这时利用矩阵版的快速幂求解其中的矩阵幂乘，就可以在 O(logn)O(logn)O(logn) 的时间复杂度下得出Fibonacci数列的第n项的值。
这种方法通常是用在算法比赛中，在面试中容易装逼失败不适合使用，这里也不挂板子了。
方法四：
根据上面的递推式，利用我们高中学过的“待定系数法”可以推导出斐波那契数列的通项公式。公式如下，（推导过程略）
F(n)=55[(1+52)n−(1−52)n]F(n)=\frac {\sqrt5} {5} [(\frac {1+\sqrt5} {2})^n-(\frac {1-\sqrt5} {2})^n] F(n)=55[(21+5)n−(21−5)n]
公式法时间复杂度为 O(1)O(1)O(1) ? 感觉不然，求公式中的 nnn 次方应该要用上快速幂，我个人认为时间复杂度应该也是 O(logn)O(logn)O(logn)。（我要滚去看源码了）
public class Solution {public int Fibonacci(int n) {double a = Math.sqrt(5)/5;double b = Math.pow((1+ Math.sqrt(5))/2, n);double c = Math.pow((1- Math.sqrt(5))/2, n);return (int)(a * (b - c));}}
后记:
如果你在写出循环版之后，再给面试官描述后面两种算法，并流畅写出通项公式的推导过程，相信肯定可以取得面试官的芳心~
如果本文对你有所帮助，要记得点赞哦~
