《数学辞海》编辑委员会. 数学辞海 第二卷.
ISBN: 978-7-5046-3325-5
本书是《数学辞海》系列的第二卷。如果你仔细看这一卷和上一卷的 ISBN 就会发现，这一套书的两卷是由两个不同出版社出版的。由此可见这套书出版和编纂工作之繁杂。由于这一卷的几个专题排序比较混乱，下边我将按自己的思路进行介绍，而不按书中原顺序。
这一卷大致涉及四个主题——代数学、几何学、组合学和数论。说到这里不妨先介绍一下“学科”和“理论”的区别。一般来说“某某学”就是“某某学科”的简称，而“某某论”则是“某某理论”的简称。一般来说学科可以包含若干理论；而理论则相对范畴较小，由一套密切相关的假设和知识构成。不过，这只是一般而言，你有可能发现有的“学科”的知识量还没有某些“理论”多。而且实际当中这两个词也有些混用的趋势。所以我们就把它们当作知识范畴名的后缀就好了。
历史上的代数学和几何学一直是数学的两大支柱。在早期的数学知识体系中，这两部分内容占了数学的绝大多数。但随着数学的发展，代数学逐渐枝繁叶茂，但几何学却不断被其他子学科融合吸收，越来越无法与代数学分庭抗礼。现代数学中自称做“几何研究”的人所谓的“几何”其实往往是一个更复杂的名称的缩略语。他们的研究方法与《几何原本》时所用方法其实大相径庭。
代数学是研究集合及集合上函数关系的抽象性质的学科。它虽然也研究有理数集和有理数集上的四则运算，实数集和实数集上的大小关系这类具体的实例，但它不局限于此。它往往借由研究特例，推导出更为一般的结论。《数学辞海 第一卷》中的初等代数、高等代数两部分加起来充其量只能算现代代数学的热身。现代代数学的基础是群、环、域、序、线性空间等一系列抽象代数结构。探求这些抽象结构的构造和普遍性质，是现代代数学基础的主要内容之一。
几何学的发展历程相比代数学却更为曲折。代数学的发展历程大致是从数到抽象代数结构，一步一个脚印，每次都变得更抽象，更普适。但几何学从平面几何到空间空间几何之后就陷入了迷茫——因为人是没有四维以上空间的直观的。这导致几何在很长时间内被限定在二维、三维这两个空间特例中，没有向更一般的理论进行发展。做一个类比，你就能感觉到这个问题有多严重——就好像代数学卡在了研究二次方程和三次方程的阶段。首先尝试打破这个僵局的是解析几何，通过坐标的引入，我们得以将几何证明问题转化为代数计算问题，几何关系通过这种映射变成了代数关系。在此基础上，二维和三维空间中一般的曲线和曲面理论被建立起来。但不幸的是解析几何到此为止又卡住了，如果不和分分析学等其他数学分支结合，它又陷入了无问题可研究的可怕停滞。
说到这里，就不得不回头再审视一下解析几何的思路。中学讲解析几何的时候，往往会用“数形结合”来概括它。这样说不能算错，但是没有说到要点上。解析几何的根本意义不是让“数”和“形”结合，而是彻底把需要一定技巧、直观甚至想象力才能解决的几何问题，转化为了可以用通法求解的代数问题。这里有两个层面需要解释：
其一，技巧性解法在开拓知识边界的时候是非常重要的。往往需要通过一些技巧性解法先在特殊情况下得到解，然后再往一般情况推广。但是，从踏实构建数学知识系统以及高效处理应用问题（包括处理买菜的时候遇到的问题）的时候，通法才是更值得关注的。而且由于寻找技巧性解法的方法本身是没有一定规律的，我们往往只能掌握具体的某些技巧而不可能掌握一套任何时候都能找到技巧性解法的方法。但经过系统的研究之后，通法往往是可以量产的。技巧性解法和通法，没有孰高孰低，但应用场景有所不同，不应当厚此薄彼。但实际中可能不少人沉迷于具有戏剧性的天才般的“技巧”而过度忽视通法。这一个层面的改变使得几何学从需要天赋的学科变成了资质一般的人都能学好的学科。
其二，几何学问题转化为代数问题意味着一切几何对象都转化为了代数对象，几何关系转化为了代数关系，几何方法其实就是代数方法或代数方法的特例。这一个层面的改变为几何学摆脱困境提供了道路——把已经抽象化的代数理论引入几何问题。这样一来，高等几何、代数几何等研究领域被开辟出来，几何学研究又活了过来。问题在于，几何学深度绑定代数后，初等几何中的方法基本都被代数方法取代，几何图形也不再像自然数一样是具有特殊性的基本对象。相比于从前几何和代数两强并列的时代而言，现代几何被逐渐挪出了数学基础，在数学的知识体系中被“降级”了。关于几何学我了解的不多，就先说到这里。
既然刚刚提到了自然数，就正好说说数论。数论是一个实质上非常庞杂的理论，它名义上只研究自然数的性质，实质上数学的很多子学科都能为它所用。所以我一直以为数论以“论”为后缀有点委屈它了，应该给现代数学另起一个名字然后把“数学”之名让给数论。其实我对于数论的了解还不如我对几何的了解多。由于华罗庚、陈景润等大师的影响和媒体的宣传，可能我之前觉得自己起码对数论的了解比对其他数学分支的了解多一些。但实际读了读数论相关的内容后发现这只是一个幻觉。数论并非只研究哥德巴赫猜想。如果不是专业的数论领域研究者，数论的书其实是非常难看懂的。不过好在，不懂数论，对学习数学其他分支的影响比较小。
《数学辞海 第二卷》中的最后一部分内容是组合学（实际上书中把这部分放到了一开始，但我最后介绍）。组合学中的一个基础部分就是计数理论。这里的“计数理论”不是指自然数理论也不是指位置记数法，而是指：已知各集合元素数求并集元素数，已知两集合元素数求笛卡儿积元素数，求排列数，求组合等内容。单凭计数理论本身是撑不起一个“学科”的，因而在本书中图论也被放到这一部分，再加上组合设计和组合优化这类应用分支共同凑成一门“组合学”。我对组合学的了解仅限于一些常用的结论，因而也没法做太多介绍。不过我倒是发现了组合学的一个非常有意思的特点——组合学中喜欢把定理叫做“原理”。例如容斥原理、鸽巢原理等等。这或许在暗示它和统计学一样是个半理论半应用的学科？
最后还有个特别有意思的小知识值得分析。计算机专业特别喜欢讲一门叫“离散数学”的课程。但从数学知识的结构上没有一个叫“离散数学”的子学科。这门课的内容实际上是用数理逻辑、抽象代数和组合学凑出来的。真要把这门课学透，需要至少精通三个数学分支的入门知识。
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