Prim算法介绍
普里姆算法（Prim’s algorithm），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。（来源于维基百科）
Prim算法描述
普利姆(Prim)算法求最小生成树（利用贪心算法实现），也就是在包含 n 个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有 n 个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
普利姆的算法如下:
设 G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U 是顶点集合，E,D 是边的集合若从顶点 u 开始构造最小生成树，则从集合 V 中取出顶点 u 放入集合 U 中，标记顶点 v 的 visited[u]=1若集合 U 中顶点 ui 与集合 V-U 中的顶点 vj 之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点 vj 加入集合 U 中，将边（ui,vj）加入合 D 中，标记 visited[vj]=1重复步骤2，直到 U 与 V 相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时 D 中有 n-1 条边最小生成树
修路问题本质就是就是最小生成树问题，先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称 MST。给定一个带权的无向连通图，如何选取一棵生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这叫最小生成树
Prim算法应用场景-修路问题
有胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个村庄连通各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?思路: 尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少.
代码实现
public class PrimAlgorithm {// 用 INF 表示两个顶点之间不连通public static final int INF = Integer.MAX_VALUE;public static void main(String[] args) {char[] data = {'A','B','C','D','E','F','G'};int verxs = data.length;//邻接矩阵的关系使用二维数组表示,INF 这个大数，表示两个点不联通int[][] weight = {{INF,5,7,INF,INF,INF,2},{5,INF,INF,9,INF,INF,3},{7,INF,INF,INF,8,INF,INF},{INF,9,INF,INF,INF,4,INF},{INF,INF,8,INF,INF,5,4},{INF,INF,INF,4,5,INF,6},{2,3,INF,INF,4,6,INF}};MGraph graph = new MGraph(verxs);MinTree minTree = new MinTree();minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);// 瞜一眼System.out.println("图的邻接矩阵");minTree.showGraph(graph);System.out.println("最小生成树的顶点以及权值");minTree.prim(graph, 0);}}// 创建最小生成树class MinTree {// 创建图的邻接矩阵public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char[] data, int[][] weight) {int i, j;for (i = 0; i < verxs; i++) {graph.data[i] = data[i];for (j = 0; j < verxs; j++) {graph.weight[i][j] = weight[i][j];}}}/*** Prim 算法，得到最小生成树* @param graph 图* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成 A表示0 B表示1 ...*/public void prim(MGraph graph, int v) {// 用来标记结点（顶点）是否被访问过int[] visited = new int[graph.verxs];// 把当前结点标记为已访问visited[v] = 1;// h1 h2 记录两个顶点的下标int h1 = -1, h2 = -1;// 两顶点之间的权值，先初始化一个较大的数int minWeight = PrimAlgorithm.INF;// 因为有 graph.verxs 顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1 边for (int k = 0; k < graph.verxs - 1; k++) {for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) {// 寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {minWeight = graph.weight[i][j];// 记录目前权值最小的两个顶点h1 = i;h2 = j;}}}// 每完成一次i，j的循环，就找到一条权值最小的边System.out.println("<" + graph.data[h1] + ", " + graph.data[h2] + "> 权值：" + minWeight);// 将目前找到的顶点标记为已访问，h1（也就是i）在前面已被标记visited[h2] = 1;// 重置minWeightminWeight = PrimAlgorithm.INF;}}// 显示图的邻接矩阵public void showGraph(MGraph graph) {for (int[] link : graph.weight) {System.out.println(Arrays.toString(link));}}}class MGraph {int verxs;// 表示图结点的个数char[] data;// 存放结点数据int[][] weight;// 邻接矩阵public MGraph(int verxs) {this.verxs = verxs;this.data = new char[verxs];this.weight = new int[verxs][verxs];}}
运行结果
注：以上大部分内容来源于韩顺平老师的数据结构和算法笔记
