[补充内容]关于使用matlab进行方程组求解的线性代数相关知识补充——n维向量

前言

根据李永乐老师课程学习。主要记载n维向量相关的性质、定理等知识，不会进行定理推导、证明。

n维向量

定义：n个数a1,a2,a3…an构成的有序数组称为n维向量。

n维向量分为：

 n维行向量

 或

 n维列向量

 或

如果向量的所有分量都是0，就称其为0向量。

如果两个向量对应位置元素相等，那么就称这两个向量相等。

向量的加法

运算法则.

n维向量就是一个1Xn的矩阵，因此运算法则和矩阵相同。

线性组合

m个n维向量α1，α2…αm与m个实数k1,k2,k3…km。称

是向量α1，α2…αm的线性组合，k1,k2,k3…km是线性组合的系数。

定义：如果向量β能表示称为α1，α2…αm的线性组合，即

β=k1α1+k2α2+…+kmαm

称向量β可由α1，α2…αm线性表出。

定理：向量β可由α1，α2…αm线性表示⇔存在k1,k2,k3…km，使β=k1α1+k2α2+…+kmαm

也可以写成：

存在的k在求解过程中就相当于未知数x。

根据前面的讲解，这个方程有解就要求

定理：如果向量组β1β2…βt可由向量组α1，α2…αs线性表示，则r（B）≤r（A），其中B=（β1β2…βt），A=（α1，α2…αs）

推论：向量组A：α1，α2…αs和B：β1β2…βt等价⇔r(A)=r(B)=r(A,B)

线性相关

定义：给定m个n维向量α1，α2…αm，如果存在不全为k1,k2,k3…km使得

k1α1+k2α2+…+kmαm=0

则称向量组α1，α2…αm线性相关，否则称它线性无关。

推论：1.n个n维向量α1，α2…αn相关⇔|α1，α2…αn|=0

 2.n+1个n维向量比线性相关。

 3.n个n维向量α1，α2…αn相关，则α1，α2…αn…αt必线性相关。

 4.n个n维向量α1，α2…αn无关，若向量延长，仍无关。

定理：向量组α1，α2…αs（s≥2）线性相关⇔至少有一个向量αi可由其余向量线性表出。（注意，这里是至少，不是任意）

定理：如n维向量α1，α2…αn线性无关，而α1，α2…αsβ线性相关，则向量β必能由α1，α2…αn线性表示，且表示方法唯一。

定理：如α1，α2…αs可由β1β2…βt线性表示，且s>t,则α1，α2…αs必线性相关。

推论：如α1，α2…αs线性无关，且α1，α2…αs可由β1β2…βt线性表示，则s≤t。

如果k1α1+k2α2+…+kmαm=0，必有k1,k2,k3…km必为0，则α1，α2…αm线性无关。

向量组的秩

极大无关组定义：在向量组α1，α2…αs中，如存在r个向量αi1，αi2…αir线性无关，再添加任意一个αj（j=1,2…s），向量组αi1，αi2…αirαij就线性相关，则称αi1，αi2…αir是向量α1，α2…αs的一个极大无关组。

定理：如果两个向量组都是另一个向量组的最大无关组，纳米这两个向量组向量个数相同。

向量组的秩：向量组的最大无关向量组中存在的向量个数r就是向量组的秩。

定理：矩阵的行向量的秩等于矩阵的列向量的秩等于矩阵的秩。