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Prim算法
1.概览
普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。
2.算法简单描述
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew= {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew= {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew= V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
下面对算法的图例描述
3.简单证明prim算法
反证法：假设prim生成的不是最小生成树
1).设prim生成的树为G0
2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 则在Gmin中存在<u,v>不属于G0
3).将<u,v>加入G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故假设不成立，命题得证.
Kruskal算法
1.概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中
图例描述：
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右：
3.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。
归纳基础：
n=1，显然能够找到最小生成树。
归纳过程：
假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。
用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。
由数学归纳法，Kruskal算法得证。
例题：HDU-还是畅通工程（http://acm./showproblem.php?pid=1233）
Prim-邻接矩阵写法：
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;#define INF 0x3f3f3f3fconst ll MAXN = 1e3 + 7;const ll MOD = 1e9 + 7;const double pi = acos(-1);int G[MAXN][MAXN]; //边的权值int dist[MAXN]; //存放当前最小生成树到顶点最短边的权值int vis[MAXN];//是否被加入到最小生成树中int n;void init(){for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)G[i][j] = INF;}int Prim(){for (int i = 1; i <= n; i++){dist[i] = INF;vis[i] = 0;}dist[1] = 0;for (int i = 0; i < n; i++){int minn = INF;int p;for (int j = 1; j <= n; j++)if (!vis[j] && minn > dist[j]){minn = dist[j];p = j;}vis[p] = 1;for (int j = 1; j <= n; j++)if (!vis[j])dist[j] = min(dist[j], G[p][j]);}int ans = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)ans += dist[i];return ans;}int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);while (cin >> n && n){init();for (int i = 0; i < n * (n - 1) / 2; i++){int x, y, len;cin >> x >> y >> len;G[x][y] = min(len, G[x][y]);G[y][x] = G[x][y];}cout <<Prim()<<endl;}return 0;}
Kruskal：
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 typedef unsigned long long ull; 5 #define INF 0x3f3f3f3f 6 const ll MAXN = 1e5 + 7; 7 const ll MOD = 1e9 + 7; 8 const double pi = acos(-1); 9 int pre[MAXN];10 int n;11 struct node12 {13int u, v;14int len;15bool operator<(const node a)16{17 return len<a.len;18}19 } G[MAXN];20 void init()21 {22for (int i = 1; i <= n; i++)23 pre[i] = i;24 }25 int find(int x) //查找根结点26 {27int r = x;28while (r != pre[r]) //寻找根结点29 r = pre[r];30int i = x, j;31while (pre[i] != r) //路径压缩32{33 j = pre[i];34 pre[i] = r;35 i = j;36}37return r;38 }39 int kruskal(int cnt)40 {41init();42int ans = 0;43for (int i = 1; i <= cnt; i++)44{45 int fa = find(G[i].u);46 int fb = find(G[i].v);47 if (fa != fb)48 {49 pre[fa] = fb;50 ans+=G[i].len;51 }52}53return ans;54 }55 int main()56 {57ios::sync_with_stdio(false);58cin.tie(0);59cout.tie(0);60while (cin >> n && n)61{62 for (int i = 1; i <= n * (n - 1) / 2; i++)63 cin >> G[i].u >> G[i].v >> G[i].len;64 sort(G + 1, G + n * (n - 1) / 2 + 1);65 cout << kruskal(n * (n - 1) / 2) << endl;66}67return 0;68 }
