1. 来源和背景

对于一个（主）三对角方程组，我们常用“追赶法”来进行求解. 而三对角方程组常常出现于微分方程的数值求解，例如热传导方程的边值问题

{y′′(x)=f(x,y,y′),a≤x≤by(a)=η1,y(b)=η2

当f(x,y,y′)是一个线性函数时，对该边值问题的数值解转化为一个典型的三对角方程组求解.

“追赶法”目前比较可靠的来源是下面的文章：

Thomas, L.H.,Elliptic Problems in Linear Differential Equations over a Network. Watson Science Computer Laboratory Report, 1949.

其中的一个依据是，在国外的文章和教材中，“追赶法”被称为“Thomas算法”.

2. 追赶法的基本原理

追赶法的基本原理是矩阵的LU分解，即将矩阵A分解为

A=LU

其中，L为一个对角线上元素为1的下三角矩阵，U为一个上三角矩阵. 容易验证，一个三对角矩阵作LU分解以后，得到一个下二对角矩阵与一个上二对角矩阵的乘积，即

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a11a21a12a22a32a23a33⋱a34⋱⋱an−1,n−2an−1,n−1an,n−1an−1,nan−1,n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

L=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1ℓ211ℓ321⋱⋱ℓn−1,n−21ℓn,n−11⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

U=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢u11u12u22u23u33u34⋱⋱un−1,n−1un−1,nun−1,n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

三对角矩阵A的LU分解计算过程如下：

for i = 2 to nA(i,i-1) = A(i,i-1)/A(i-1,i-1);A(i,i) = A(i,i) - A(i-1,i) * A(i,i-1);end

在计算过程中，将下三角矩阵L和上三角矩阵U的值保存在原矩阵A中. 计算结束以后，矩阵A中的元素为

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢u11ℓ21u12u22ℓ32u23u33⋱u34⋱⋱ℓn−1,n−2un−1,n−1ℓn,n−1un−1,nun−1,n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

注：三对角矩阵A做LU分解以后，严格上三角部分的元素没有发生变化，即上三角矩阵U中的元素

ui,i+1=ai,i+1,i=1,2,…,n−1

3. 追赶法求解三对角方程组

使用LU分解的求解线性方程组时，不需要存储下三角矩阵，而上三角矩阵将被用于回代求解.

3.1 “追”的过程：分解

对于n阶的三对角方程组

Ax=b

我们先用LU分解得到

Ux=y

注：由Ax=LUx=b，得

Ux=L−1b

记y=L−1b，即得到方程组Ux=y.

计算过程如下：

for i = 2 to nA(i,i-1) = A(i,i-1)/A(i-1,i-1);A(i,i) = A(i,i) - A(i-1,i) * A(i,i-1);b(i) = b(i) - b(i-1) * A(i,i-1);end

循环里面的前两行与LU分解完全相同，第三行负责对常数项做相应的变换. 在计算过程中，上三角矩阵U的值保存在原矩阵A中，变换后的常数y=L−1b保存在b中.

3.2 “赶”的过程：回代

接着，我们用回代法求解上三角形方程组. 从三对角矩阵得到的上三角形方程组如下：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢u11u12u22u23u33u34⋱⋱un−1,n−1un−1,nun−1,n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜x1x2⋮xn−1xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜y1y2⋮yn−1yn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

注意在前面的计算过程中，我们将上三角矩阵U保存在A中，常数项y保存在b中. 因此，我们得到如下的回代过程：

x(n) = b(n) / A(i,i); for i = n-1 to 1x(i) = (b(i) - A(i,i+1) * x(i+1)) / A(i,i);end

4. 实用的程序代码

在三对角矩阵中，三对角线以外的元素均为0，为了提高存储的效率，我们只需存储三对角线上的元素即可. 因此，对于前面的矩阵A，我们只存储三个向量：

d=[A(1,1),A(2,2),...,A(n,n)];u=[A(1,2),A(2,3),...,A(n-1,n)];l=[A(2,1),A(3,2),...,A(n,n-1)];

这三个向量分别为矩阵A<script type="math/tex" id="MathJax-Element-38">A</script>三条对角线上的元素. 假定常数向量为

b=[b(1),b(2),...,b(n)];

则实用的追赶法（亦称为“Thomas算法”）求解三对角方程组的过程如下：

% 追for i = 2 to nl(i-1) = l(i-1)/d(i-1);d(i,i) = d(i,i) - u(i-1) * l(i-1);b(i) = b(i) - b(i-1) * l(i-1);end% 赶x(n) = b(n) / d(i); for i = n-1 to 1x(i) = (b(i) - u(i) * x(i+1)) / d(i);end