离散信号（四）| 周期信号 |离散傅里叶级数（DFS）推导 + 主要性质（周期卷积定

离散傅里叶变换（DFT）要解决两个问题：一是信号离散化后它的频谱情况；二是快速运算算法。第一个问题将涉及周期离散信号的傅里叶级数（DFS），以及由DFS得到非周期信号的离散时间傅里叶变换（DTFT）和有限长序列的离散频谱表示；第二个问题将涉及DFT的快速算法——快速傅里叶变换（FFT）。

周期信号的频域分析

与周期模拟信号一样，周期离散信号同样可以展成傅里叶级数形式，并由此得出一新的变换对——离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series），简记为DFS。

（一）离散傅里叶级数（DFS）的引入

可以从连续周期信号傅里叶级数的复指数形式导出周期序列的DFS。连续周期信号傅里叶级数的复指数形式为

x(t)=∑k=−∞∞X(kw0)ejkw0t(1)x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(kw_0)e^{jkw_0t} \tag{1} x(t)=k=−∞∑∞​X(kw0​)ejkw0​t(1)

X(kw0)=1T0∫0T0x(t)e−jkw0tdtk=0,1,2,⋯(2)X(kw_0)=\frac{1}{T_0}\int_0^{T_0}x(t)e^{-jkw_0t}dt \quad k=0,1,2,\cdots \tag{2} X(kw0​)=T0​1​∫0T0​​x(t)e−jkw0​tdtk=0,1,2,⋯(2)

对连续周期信号x(t)x(t)x(t)的一个周期T0T_0T0​进行N点采样，即T0=NT,w0=2πT0=2πNTT_0=NT,w_0=\frac{2\pi}{T_0}=\frac{2\pi}{NT}T0​=NT,w0​=T0​2π​=NT2π​，T为采样周期，这样采样得到的离散序列x(n)x(n)x(n)是以N为周期的周期序列，即

x(n)=x(n+mN)(m为任意整数)x(n)=x(n+mN) \quad (m为任意整数) x(n)=x(n+mN)(m为任意整数)

设Ω0=w0T=2πN\Omega_0=w_0T=\frac{2\pi}{N}Ω0​=w0​T=N2π​为离散域的基本频率，单位为弧度，kΩ0k\Omega_0kΩ0​是k次谐波的数字频率。这样，在式（2）中，t=nT,dt=Tt=nT,dt=Tt=nT,dt=T，在一个周期内的积分变为在一个周期内的累加，即

X(kΩ0T)=1NT∑n=0N−1x(nT)e−jkΩ0TnTT=1N∑n=0N−1x(nT)e−jkΩ0nX(k\frac{\Omega_0}{T})=\frac{1}{NT}\sum_{n=0}^{N-1}x(nT)e^{-jk\frac{\Omega_0}{T}nT}T=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(nT)e^{-jk\Omega_0n} X(kTΩ0​​)=NT1​n=0∑N−1​x(nT)e−jkTΩ0​​nTT=N1​n=0∑N−1​x(nT)e−jkΩ0​n

在序列表示中，可仅用nnn表示nT，对应地，用kΩ0k\Omega_0kΩ0​表示kΩ0Tk\frac{\Omega_0}{T}kTΩ0​​，则上式为

X(kΩ0)=1N∑n=0N−1x(n)e−jkΩ0n=1N∑n=−N2N2x(n)e−jkΩ0nk=0,1,2,⋯,N−1(3)X(k\Omega_0)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jk\Omega_0 n}=\frac{1}{N}\sum_{n=-\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2}}x(n)e^{-jk\Omega_0n} \quad k=0,1,2,\cdots,N-1 \tag{3} X(kΩ0​)=N1​n=0∑N−1​x(n)e−jkΩ0​n=N1​n=−2N​∑2N​​x(n)e−jkΩ0​nk=0,1,2,⋯,N−1(3)

X(kΩ0)X(k\Omega_0)X(kΩ0​)是变量k的周期函数，周期为N，因为对任意整数q有

x((k+qN)Ω0)=X(kΩ0)x((k+qN)\Omega_0)=X(k\Omega_0) x((k+qN)Ω0​)=X(kΩ0​)

当周期信号从连续域变换到离散域以后，它的频率www从−∞∼+∞-\infty\sim +\infty−∞∼+∞的无限范围映射到数字频率Ω\OmegaΩ从0∼2π0\sim 2\pi0∼2π的有限范围。因此，连续周期信号的傅里叶级数可表示为具有无限多个谐波分量，而离散周期信号只含有有限个谐波分量，其谐波数为k=2πΩ0=Nk=\frac{2\pi}{\Omega_0}=Nk=Ω0​2π​=N。所以对应于式（1）离散化处理后为

x(n)=∑k=0N−1X(kΩ0)ejkΩ0TnT=∑k=0N−1X(kΩ0)ejkΩ0n(4)x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}X(k\Omega_0)e^{jk\frac{\Omega_0}{T}nT}=\sum_{k=0}^{N-1}X(k\Omega_0)e^{jk\Omega_0 n} \tag{4} x(n)=k=0∑N−1​X(kΩ0​)ejkTΩ0​​nT=k=0∑N−1​X(kΩ0​)ejkΩ0​n(4)

从式（3）和式（4）可以看出，x(n)x(n)x(n)以N为周期，x(n)x(n)x(n)的频谱就以Ω0=2πN\Omega_0=\frac{2\pi}{N}Ω0​=N2π​的基本频率为间距离散化了。由此可以得到一个结论：周期序列的频谱是离散的。在前面的内容，我们看到了信号时域离散化、频域周期化这种现象；在这里，有完全对称的另一种情况，那就是时域周期化，频域离散化。

式（3）和式（4）描述了x(n)x(n)x(n)和X(kΩ0)X(k\Omega_0)X(kΩ0​)相互计算的一对关系式。其中式（4）可以看作周期系列x(n)x(n)x(n)的傅里叶级数展开式，而X(kΩ0)X(k\Omega_0)X(kΩ0​)则可以看作是x(n)x(n)x(n)的傅里叶级数展开式的系数。人们称满足这对关系式的周期序列x(n)x(n)x(n)和X(kΩ0)X(k\Omega_0)X(kΩ0​)为离散傅里叶级数变换对，简记为

x(n)↔DFSX(kΩ0)x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0) x(n)↔DFSX(kΩ0​)

或者表示为DFS[x(n)]=X(kΩ0)DFS[x(n)]=X(k\Omega_0)DFS[x(n)]=X(kΩ0​)和IDFS[X(kΩ0)]=x(n)IDFS[X(k\Omega_0)]=x(n)IDFS[X(kΩ0​)]=x(n)。即正变换为式（3），反变换为（4）。

（二）DFS的主要性质

线性性质

若x(n)↔DFSX(kΩ0),y(n)↔DFSY(kΩ0)x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0),y(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}Y(k\Omega_0)x(n)↔DFSX(kΩ0​),y(n)↔DFSY(kΩ0​)，则

ax(n)+by(n)↔DFSaX(kΩ0)+bY(kΩ0)ax(n)+by(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}aX(k\Omega_0)+bY(k\Omega_0) ax(n)+by(n)↔DFSaX(kΩ0​)+bY(kΩ0​)

周期卷积定理

若x(n)↔DFSX(kΩ0),h(n)↔DFSH(kΩ0)x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0),h(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}H(k\Omega_0)x(n)↔DFSX(kΩ0​),h(n)↔DFSH(kΩ0​)，则

x(n)⨀h(n)↔DFSX(kΩ0)H(kΩ0)x(n)h(n)↔DFS1NX(kΩ0)⨀H(kΩ0)x(n)\bigodot h(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0)H(k\Omega_0)\\ x(n)h(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow} \frac{1}{N}X(k\Omega_0)\bigodot H(k\Omega_0) x(n)⨀h(n)↔DFSX(kΩ0​)H(kΩ0​)x(n)h(n)↔DFSN1​X(kΩ0​)⨀H(kΩ0​)

⨀\bigodot⨀为周期卷积的符号，两周期序列x(n)x(n)x(n)和h(n)h(n)h(n)的周期卷积定义为

x(n)⨀h(n)=h(n)⨀x(n)=∑k=0N−1x(k)h(n−k)x(n)\bigodot h(n)=h(n)\bigodot x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}x(k)h(n-k) x(n)⨀h(n)=h(n)⨀x(n)=k=0∑N−1​x(k)h(n−k)

周期卷积和线性卷积的惟一区别在于 周期卷积时仅仅在单个周期内求和，而线性卷积则是对所有的k值求和。

复共轭

若x(n)↔DFSX(kΩ0)x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0)x(n)↔DFSX(kΩ0​)，则

x∗(−n)↔DFSX∗(kΩ0)x^*(-n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X^*(k\Omega_0) x∗(−n)↔DFSX∗(kΩ0​)

*表示复共轭

位移性质

若x(n)↔DFSX(kΩ0)x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0)x(n)↔DFSX(kΩ0​)，则

x(n−m)↔DFSe−jkΩ0mX(kΩ0)x(n-m) \overset{DFS}{\leftrightarrow}e^{-jk\Omega_0m}X(k\Omega_0) x(n−m)↔DFSe−jkΩ0​mX(kΩ0​)

帕斯瓦尔定理

设x(n)↔DFSX(kΩ0),h(n)↔DFSH(kΩ0)x(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}X(k\Omega_0),h(n) \overset{DFS}{\leftrightarrow}H(k\Omega_0)x(n)↔DFSX(kΩ0​),h(n)↔DFSH(kΩ0​)，则

∑n=0N−1x(n)h∗(n)=1N∑k=0N−1X(kΩ0)H∗(kΩ0)\sum_{n=0}^{N-1}x(n)h^*(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k\Omega_0)H^*(k\Omega_0) n=0∑N−1​x(n)h∗(n)=N1​k=0∑N−1​X(kΩ0​)H∗(kΩ0​)

特别地，当x(n)=h(n)x(n)=h(n)x(n)=h(n)时，有

∑n=0N−1∣x(n)∣2=1N∑k=0N−1∣X(kΩ0)∣2\sum_{n=0}^{N-1}|x(n)|^2=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X(k\Omega_0)|^2 n=0∑N−1​∣x(n)∣2=N1​k=0∑N−1​∣X(kΩ0​)∣2

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