8.4 假设问题的进一步说明

例如当问到是否购入某批灯泡（根据其寿命）：：

H0:μ≥1000hour认为该厂生产的灯泡【不会低于】规定的质量标准1000小时和H1:μ<1000hour认为该厂生产的灯泡【可能低于】规定的质量标准1000小时H_0: \mu \ge 1000 \; hour \qquad 认为该厂生产的灯泡【不会低于】规定的质量标准1000小时\\ 和\\ H_1: \mu < 1000 \;hour \qquad 认为该厂生产的灯泡【可能低于】规定的质量标准1000小时 H0​:μ≥1000hour认为该厂生产的灯泡【不会低于】规定的质量标准1000小时和H1​:μ<1000hour认为该厂生产的灯泡【可能低于】规定的质量标准1000小时

同一个问题，有两种假设，而这两种假设会导致出现不同的结果，那么究竟该如何确定原假设H0H_0H0​和备择假设H1H_1H1​呢。下面给出了很好的解释：

在假设检验中一般是把希望证明的命题放在备择假设H1H_1H1​上；而把原有的、传统的观点或结论放在原假设H0H_0H0​上。 所谓“原有的、传统的”是指原有的理论、原有的看法、原有的状况，或者说是那些历史的、经验的、被大多数人认可和接受的东西，在没有充分证据证明其错误时，总是假定是正确的，处于原假设H0H_0H0​被保护的位置。而那些新的、可能的 、猜测的东西，希望用事实推翻原假设，得到船新的观点，处在备择假设H1H_1H1​的位置。 接受备择假设H1H_1H1​一定意味着原假设H0H_0H0​错误；而没有拒绝原假设H0H_0H0​并不能表明备择假设H1H_1H1​一定是错的。

提出各类假设的例子：

很多假设检验类型既有单侧检验又有双侧检验，这里只是给出如何建立假设的统计量和统计值的符号，而对于是大于小于还是等于就不具体都一一举例了（例如 H0:μ=1000和H0:μ≥0.81H_0:\mu = 1000 和 H_0:\mu \ge 0.81H0​:μ=1000和H0​:μ≥0.81 这两种形式）。

第八章 假设检验

双侧检验

H0:μ=μ0没有显著差别H1:μ≠μ0有显著差别H_0: \mu = \mu_0 \qquad 没有显著差别 \\ H_1: \mu \ne \mu_0 \qquad\quad 有显著差别 H0​:μ=μ0​没有显著差别H1​:μ=μ0​有显著差别左单侧检验

H0:μ≥μ0没有显著差别H1:μ<μ0有显著差别H_0: \mu \ge \mu_0 \qquad 没有显著差别 \\ H_1: \mu < \mu_0 \qquad\quad 有显著差别 H0​:μ≥μ0​没有显著差别H1​:μ<μ0​有显著差别右单侧检验

H0:μ≤μ0没有显著差别H1:μ>μ0有显著差别H_0: \mu \le \mu_0 \qquad 没有显著差别 \\ H_1: \mu > \mu_0 \qquad\quad 有显著差别 H0​:μ≤μ0​没有显著差别H1​:μ>μ0​有显著差别总体比例的检验（z或t检验）

H0:π=π0支持该比例H1:π≠π0不支持该比例H_0: \pi = \pi_0 \qquad\quad支持该比例\\ H_1: \pi \ne \pi_0 \qquad不支持该比例 H0​:π=π0​支持该比例H1​:π=π0​不支持该比例总体方差的检验（χ2\chi^2χ2检验）

H0:σ2≤σ02在误差以内H1:σ2>σ02在误差以外H_0:\sigma^2 \le \sigma_0^2 \qquad在误差以内 \\ H_1:\sigma^2 > \sigma_0^2 \qquad在误差以外 H0​:σ2≤σ02​在误差以内H1​:σ2>σ02​在误差以外 两个总体参数的检验两个总体均值之差的检验（z或t检验）总体标准差已知：

总体标准差未知：方差相等：

方差不相等：

H0:μ1−μ2=0H1:μ1−μ2≠0H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0\\ H_1:\mu_1 - \mu_2 \ne 0 H0​:μ1​−μ2​=0H1​:μ1​−μ2​=0两个总体比例之差的检验（z检验）检验两个总体比例相等：

H0:π1−π2=0H1:π1−π2≠0H_0: \pi_1 - \pi_2 = 0\\ H_1:\pi_1 - \pi_2 \ne 0 H0​:π1​−π2​=0H1​:π1​−π2​=0检验两个总体比例之差不为零：

H0:π1−π2≥10%H1:π1−π2<10%H_0: \pi_1 - \pi_2 \ge 10\%\\ H_1:\pi_1 - \pi_2 < 10\% H0​:π1​−π2​≥10%H1​:π1​−π2​<10%两个总体方差比的检验 （F检验）

H0:σ1/σ2=1H1:σ1/σ2≠1H_0: \sigma_1/\sigma_2 = 1\\ H_1:\sigma_1/\sigma_2 \ne 1 H0​:σ1​/σ2​=1H1​:σ1​/σ2​=1

第九章 分类数据分析

H0:观察频数和期望频数一致H1:观察频数和期望频数不一致H_0: 观察频数和期望频数\quad一致\\ H_1: 观察频数和期望频数不一致 H0​:观察频数和期望频数一致H1​:观察频数和期望频数不一致独立性检验（χ2\chi^2χ2检验）

H0:行变量和列变量相互独立H1:行变量和列变量不相互独立H_0: 行变量和列变量\quad相互独立\\ H_1: 行变量和列变量不相互独立 H0​:行变量和列变量相互独立H1​:行变量和列变量不相互独立

第十章 方差分析

在方差分析中，原假设所描述的是在按照自变量的取值分成的类中，因变量的均值是否相等。因此，检验k个水平（总体）的均值是否相等，需要提出如下形式的假设（得到的结果一般都是拒绝原假设，从而有显著影响）：

H0:μ1=μ2=...=μk自变量对因变量没有显著影响H1:μ(i=1,2,...,k)不全相等自变量对因变量有显著影响H_0:\mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_k \qquad\qquad\qquad 自变量对因变量没有显著影响 \\ H_1:\mu_(i = 1,2,...,k)不全相等 \;\quad\qquad 自变量对因变量\quad有显著影响 H0​:μ1​=μ2​=...=μk​自变量对因变量没有显著影响H1​:μ(​i=1,2,...,k)不全相等自变量对因变量有显著影响双因素方差分析 （F检验）

有无交互作用的都假设的提出都是类似的。

为了检验两个因素的影响，需要对两个因素分别提出假设（k为行因素的水平个数，r为列因素水平个数）： 对行因素提出的假设为：

H0:μ1=μ2=...=μk自变量（行变量）对因变量没有显著影响H1:μ(i=1,2,...,k)不全相等自变量（行变量）对因变量有显著影响H_0:\mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_k \qquad\qquad\qquad 自变量（行变量）对因变量没有显著影响 \\ H_1:\mu_(i = 1,2,...,k)不全相等 \;\quad\qquad 自变量（行变量）对因变量\quad有显著影响 H0​:μ1​=μ2​=...=μk​自变量（行变量）对因变量没有显著影响H1​:μ(​i=1,2,...,k)不全相等自变量（行变量）对因变量有显著影响对列因素提出的假设为：

H0:μ1=μ2=...=μr自变量（列变量）对因变量没有显著影响H1:μ(i=1,2,...,r)不全相等自变量（列变量）对因变量有显著影响H_0:\mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_r \qquad\qquad\qquad 自变量（列变量）对因变量没有显著影响 \\ H_1:\mu_(i = 1,2,...,r)不全相等 \;\quad\qquad 自变量（列变量）对因变量\quad有显著影响 H0​:μ1​=μ2​=...=μr​自变量（列变量）对因变量没有显著影响H1​:μ(​i=1,2,...,r)不全相等自变量（列变量）对因变量有显著影响

第十一章 一元线性回归

H0:ρ=0两个变量之间不存在显著的线性关系H1:ρ≠0两个变量之间存在显著的线性关系H_0: ρ = 0 \qquad两个变量之间不存在显著的线性关系 \\ H_1: ρ \ne 0 \qquad两个变量之间\quad存在显著的线性关系 H0​:ρ=0两个变量之间不存在显著的线性关系H1​:ρ=0两个变量之间存在显著的线性关系线性关系的显著性检验（F检验）

H0:β1=0两个变量之间不存在显著的线性关系H1:β1≠0两个变量之间存在显著的线性关系H_0: \beta_1 = 0\qquad两个变量之间不存在显著的线性关系 \\ H_1: \beta_1 \ne 0 \qquad两个变量之间\quad存在显著的线性关系 H0​:β1​=0两个变量之间不存在显著的线性关系H1​:β1​=0两个变量之间存在显著的线性关系回归系数的显著性检验（t检验或F检验）

H0:β1=0没有证据表明自变量x对因变量y影响显著H1:β1≠0表明自变量x对因变量y影响显著H_0: \beta_1 = 0\qquad 没有证据表明自变量x对因变量y影响显著 \\ H_1: \beta_1 \ne 0 \quad\qquad \quad\qquad 表明自变量x对因变量y影响显著 H0​:β1​=0没有证据表明自变量x对因变量y影响显著H1​:β1​=0表明自变量x对因变量y影响显著

第十二章 多元线性回归

H0:β1=β2=...=βk=0y与k个自变量之间不存在显著的线性关系H1:β1,β2,...,βk至少一个不等于0y与k个自变量之间存在显著的线性关系H_0: \beta_1 = \beta_2 =...=\beta_k = 0 \qquad\qquad\quad y与k个自变量之间不存在显著的线性关系 \\ H_1: \beta_1, \beta_2,...,\beta_k至少一个不等于0 \qquad y与k个自变量之间\quad存在显著的线性关系 H0​:β1​=β2​=...=βk​=0y与k个自变量之间不存在显著的线性关系H1​:β1​,β2​,...,βk​至少一个不等于0y与k个自变量之间存在显著的线性关系回归系数的显著性检验（t检验）

对任意βi(i=1∼k)有：H0:βi=0y与第i个自变量xi不存在显著的线性关系H1:βi≠0y与第i个自变量xi存在显著的线性关系对任意\beta_i (i = 1\sim k)有：\\ H_0: \beta_i = 0 \qquad y与第i个自变量x_i不存在显著的线性关系\\ H_1: \beta_i \ne 0 \qquad y与第i个自变量x_i\quad存在显著的线性关系 对任意βi​(i=1∼k)有：H0​:βi​=0y与第i个自变量xi​不存在显著的线性关系H1​:βi​=0y与第i个自变量xi​存在显著的线性关系