推导：从傅里叶级数展开到傅里叶变换

说明：本文主要参考资料为奥本海姆的《信号与系统》（第二版），推导过程中融入了少量个人理解。

假设我们已经知晓了周期信号的傅里叶级数展开，在连续信号条件下，其傅里叶级数对为

x(t)=∑k=−∞+∞akejkω0t=∑k=−∞+∞akejk(2π/T)t(1)(1)x(t)=∑k=−∞+∞akejkω0t=∑k=−∞+∞akejk(2π/T)tak=1T∫Tx(t)e−jkω0tdt=1T∫Tx(t)e−jk(2π/T)tdt(2)(2)ak=1T∫Tx(t)e−jkω0tdt=1T∫Tx(t)e−jk(2π/T)tdt

其中，公式(1)为综合公式，它描述如何将原始信号x(t)​x(t)​分解，公式(2)为分析公式，ak​ak​表示信号x(t)​x(t)​的傅里叶系数（也称为频谱系数），其物理意义是原始信号x(t)​x(t)​分解出来的每一个谐波分量强度的度量，其中当k=0​k=0​时，即a0​a0​就是原始信号x(t)​x(t)​的直流分量（也称为常数分量）。

类似地，在离散信号条件下，其傅里叶级数对为

x[n]=∑k=⟨N⟩akejkω0n=∑k=⟨N⟩akejk(2π/N)n(3)(3)x[n]=∑k=⟨N⟩akejkω0n=∑k=⟨N⟩akejk(2π/N)nak=1N∑n=⟨N⟩x[n]e−jkω0n=1N∑n=⟨N⟩x[n]e−jk(2π/N)n(4)(4)ak=1N∑n=⟨N⟩x[n]e−jkω0n=1N∑n=⟨N⟩x[n]e−jk(2π/N)n

其中，公式(3)为综合公式，公式(4)为分析公式，其物理意义与上述连续信号类似。

现在我们需要将其表示傅里叶展开的手法推广到非周期信号，首先引入基本思想：

非周期信号，可以被想象成周期无穷大的周期信号。对于周期信号而言，它的周期越大，那么它的基波频率ω0=2π/Tω0=2π/T就越小，同时分解出来的各个频率分量之间的“距离”也越近，这是因为频谱图频率轴上样本的间隔为2π/T2π/T（因为在周期复指数信号ejω0tejω0t中ω0ω0表示频率，相应地这里k(2π/T)k(2π/T)为频率，kk为整数，因此间隔为2π/T" role="presentation">2π/T2π/T），它随着周期的增大而变小。这样，在周期趋近于无穷大时，这些频率轴上的样本会越来越密，傅里叶展开由原来的许多项进行离散求和，而变为连续积分。

现在，我们假设有一个非周期信号x(t)x(t)，它具有有限的持续期，从该信号出发，可以构建一个信号x~(t)x~(t)，使得x(t)x(t)是x~(t)x~(t)的一个周期，这样当周期TT无穷大时，x(t)" role="presentation">x(t)x(t)就可以等于x~(t)x~(t)，由于x~(t)x~(t)是名义上的周期信号，因此我们可以先观察x~(t)x~(t)的傅里叶级数展开情况。x(t)x(t)和x~(t)x~(t)的函数示意图如下图所示。

将信号x~(t)x~(t)进行傅里叶展开，求解系数时，将积分区间设定为−T/2≤t≤T/2−T/2≤t≤T/2，有

x~(t)=∑k=−∞+∞akejkω0t(5)(5)x~(t)=∑k=−∞+∞akejkω0tak=1T∫T/2−T/2x~(t)e−jkω0tdt(6)(6)ak=1T∫−T/2T/2x~(t)e−jkω0tdt

其中ω0=2π/Tω0=2π/T，由于当|t|<T/2|t|<T/2时x(t)=x~(t)x(t)=x~(t)，当|t|≥T/2|t|≥T/2时x(t)=0x(t)=0，所以(6)式可以改写为

ak=1T∫T/2−T/2x(t)e−jkω0tdt=1T∫+∞−∞x(t)e−jkω0tdt(7)(7)ak=1T∫−T/2T/2x(t)e−jkω0tdt=1T∫−∞+∞x(t)e−jkω0tdt

将(7)式两边乘以TT，约掉等式右边的分母T" role="presentation">TT，有

Tak=∫+∞−∞x(t)e−jkω0tdt(8)(8)Tak=∫−∞+∞x(t)e−jkω0tdt

对上述(8)式进行变量替换，将kω0kω0替换为ωω，得到TakTak的包络X(jω)X(jω)

X(jω)=∫+∞−∞x(t)e−jωtdt(9)(9)X(jω)=∫−∞+∞x(t)e−jωtdt

这样，按照这种表达方式，可以重新将傅里叶系数表示为

ak=1TX(jω)=1TX(jkω0)(10)(10)ak=1TX(jω)=1TX(jkω0)

此时，再将刚刚得到的(10)式带入(5)式，可以重新描述x~(t)x~(t)的傅里叶展开式

x~(t)=∑k=−∞+∞1TX(jkω0)ejkω0t(11)(11)x~(t)=∑k=−∞+∞1TX(jkω0)ejkω0t

又因为2π/T=ω02π/T=ω0，因此(11)式可以进一步改写为

x~(t)=12π∑k=−∞+∞X(jkω0)ejkω0tω0(12)(12)x~(t)=12π∑k=−∞+∞X(jkω0)ejkω0tω0

注：公式(12)已经更正，在末尾增加了ω0ω0，感谢Myriad_Dreamin同学的指正！

上文已经提及，将傅里叶变换理解为周期无穷大的特殊情形，此时的傅里叶展开会由原来的离散求和变为连续积分，因此当T→∞T→∞时，x~(t)→x(t)x~(t)→x(t)，上述(12)式将过渡为连续积分，并与上述公式(9)结合起来，有

x(t)=12π∫+∞−∞X(jω)ejωtdω(13)(13)x(t)=12π∫−∞+∞X(jω)ejωtdωX(jω)=∫+∞−∞x(t)e−jωtdt(9)(9)X(jω)=∫−∞+∞x(t)e−jωtdt

公式(13)和公式(9)就是傅里叶变换对，其中上面一行的公式(13)称为傅里叶逆变换（inverse Fourier transform），下面一行的公式(9)称为x(t)x(t)的傅里叶变换（Fourier transform）或傅里叶积分，X(jω)X(jω)通常称为x(t)x(t)的频谱。

这样，从傅里叶级数到傅里叶变换的推导就完成了。

总结：从傅里叶级数展开，到傅里叶变换，关键并不在于其中的数学推导，上述的代数推导中主要以变量替换为主，其表达方式与傅里叶级数展开并无太大区别，真正需要我们理解的是其中的思想：周期无穷大后，因为频率样本越来越密集，从而形成连续积分。明白了这一点，就不难理解傅里叶变换了。