本文是DR_CAN的系列教学视频的学习笔记
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一、三角函数的正交性二、周期为2π2\pi2π的级数展开三、周期为2L的级数展开四、傅里叶级数的复数形式4.1 周期为2π2\pi2π的函数的傅里叶级数展开4.2 周期为2L2L2L的函数的傅里叶级数的复数形式五、傅里叶变换一、三角函数的正交性
下列三角函数组具有正交性
S={0,1,cos(x),sin(x)cos(2x),sin(2x),...,cos(nx),sin(nx),...}S=\{0,1,\cos(x),\sin(x)\,\cos(2x),\sin(2x),...,\cos(nx),\sin(nx),...\} S={0,1,cos(x),sin(x)cos(2x),sin(2x),...,cos(nx),sin(nx),...}
具体表现为
∀f(x),g(x)∈S∧f≠g,∫−ππf(x)⋅g(x)dx=0\forall f(x),g(x)\in S \wedge f\neq g,\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cdot g(x)dx=0 ∀f(x),g(x)∈S∧f=g,∫−ππf(x)⋅g(x)dx=0
证明如下：
函数组内的不同函数正交
函数组内的两不同函数求内积时有以下三种情况(m,n∈Z)(m,n\in Z)(m,n∈Z)
∫−ππcos(mx)⋅cos(nx)dx=∫−ππ12[cos(m+n)x+cos(m−n)x]dx=0(m≠n)\int_{-\pi}^{\pi} \cos (m x) \cdot \cos (n x) d x=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2}[\cos (m+n) x+\cos (m-n) x] d x=0\,(m\neq n) ∫−ππcos(mx)⋅cos(nx)dx=∫−ππ21[cos(m+n)x+cos(m−n)x]dx=0(m=n)
∫−ππsin(mx)⋅sin(nx)dx=∫−ππ−12[cos(m+n)x−cos(m−n)x]dx=0(m≠n)\int_{-\pi}^{\pi} \sin (m x) \cdot \sin (n x) d x=\int_{-\pi}^{\pi} -\frac{1}{2}[\cos (m+n) x-\cos (m-n) x] d x=0\,(m\neq n) ∫−ππsin(mx)⋅sin(nx)dx=∫−ππ−21[cos(m+n)x−cos(m−n)x]dx=0(m=n)
∫−ππcos(mx)⋅sin(nx)dx=∫−ππ12[sin(m+n)x−sin(m−n)x]dx=0\int_{-\pi}^{\pi} \cos (m x) \cdot \sin (n x) d x=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2}[\sin (m+n) x-\sin (m-n) x] d x=0 ∫−ππcos(mx)⋅sin(nx)dx=∫−ππ21[sin(m+n)x−sin(m−n)x]dx=0
函数组内同一函数内积
当m=0m=0m=0时，
∫−ππcos2(mx)dx=2π,∫−ππsin2(mx)dx=0\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2(mx)dx=2\pi,\, \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(mx)dx=0∫−ππcos2(mx)dx=2π,∫−ππsin2(mx)dx=0
当m≠0m\neq0m=0时，
∫−ππcos(mx)⋅cos(mx)dx=∫−ππ12[cos(2mx)+1]dx=π\int_{-\pi}^{\pi} \cos (m x) \cdot \cos (m x) d x=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2}[\cos (2mx)+1] d x=\pi ∫−ππcos(mx)⋅cos(mx)dx=∫−ππ21[cos(2mx)+1]dx=π
∫−ππsin(mx)sin(mx)dx=∫−ππ(1−cos2(mx))dx=π\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(mx) dx=\int_{-\pi}^{\pi} (1-\cos^2(mx))dx=\pi ∫−ππsin(mx)sin(mx)dx=∫−ππ(1−cos2(mx))dx=π
二、周期为2π2\pi2π的级数展开
考虑函数f(x)=f(x+2π)f(x)=f(x+2\pi )f(x)=f(x+2π),将函数写成如下形式
f(x)=∑n=0∞ancos(nx)+bnsin(nx)f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\cos (nx)+b_n\sin(nx) f(x)=n=0∑∞ancos(nx)+bnsin(nx)
或是
f(x)=a02+∑n=1∞ancos(nx)+bnsin(nx)f(x)=\dfrac{a_0}2 +\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos (nx)+b_n\sin(nx) f(x)=2a0+n=1∑∞ancos(nx)+bnsin(nx)
显然函数的周期仍然为2π2\pi2π.
现通过将f(x)f(x)f(x)与正交函数组中的函数求内积的方法求出级数中的系数项，考虑展开式的后一种写法最终可以得到
an=1π∫−ππf(x)cos(nx)dxa_n=\dfrac{1}\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dxan=π1∫−ππf(x)cos(nx)dx
bn=1π∫−ππf(x)sin(nx)dxb_n=\dfrac{1}\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dxbn=π1∫−ππf(x)sin(nx)dx
三、周期为2L的级数展开
周期为2L的函数主要通过坐标系变换得到其傅里叶级数展开。
对于函数f(t)=f(t+2L)f(t)=f(t+2L)f(t)=f(t+2L)，令
x=πL⋅tx=\dfrac{\pi}{L}\cdot tx=Lπ⋅t
并记
g(x)=g(πL⋅t)=f(t)g(x)=g(\dfrac{\pi}{L}\cdot t)=f(t)g(x)=g(Lπ⋅t)=f(t)
于是有g(x+2π)=g(πL⋅t+2π)=g(πL(t+2L))=g(x)g(x+2\pi)=g(\dfrac{\pi}{L}\cdot t+2\pi)=g(\dfrac{\pi}{L}(t+2L))=g(x)g(x+2π)=g(Lπ⋅t+2π)=g(Lπ(t+2L))=g(x)，即g(x)g(x)g(x)是一周期为2π2\pi2π的周期函数。
根据周期为2π2\pi2π的函数的傅里叶展开公式，可以得到g(x)g(x)g(x)的各项系数为
g(x)=a02+∑n=1∞ancos(nx)+bnsin(nx)g(x)=\dfrac{a_0}2 +\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos (nx)+b_n\sin(nx) g(x)=2a0+n=1∑∞ancos(nx)+bnsin(nx)
an=1π∫−ππf(x)cos(nx)dxa_n=\dfrac{1}\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dxan=π1∫−ππf(x)cos(nx)dx
bn=1π∫−ππf(x)sin(nx)dxb_n=\dfrac{1}\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dxbn=π1∫−ππf(x)sin(nx)dx
带入x=πL⋅tx=\dfrac{\pi}{L}\cdot tx=Lπ⋅t即有
f(t)=g(x)=a02+∑n=1∞ancos(nπL⋅t)+bnsin(nπL⋅t)f(t)=g(x)=\dfrac{a_0}2 +\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos (\dfrac{n\pi}{L}\cdot t)+b_n\sin(\dfrac{n\pi}{L}\cdot t) f(t)=g(x)=2a0+n=1∑∞ancos(Lnπ⋅t)+bnsin(Lnπ⋅t)
an=1π∫−LLf(x)cos(nπL⋅t)d(πL⋅t)=1L∫−LLf(t)cos(nπL⋅t)dta_n=\dfrac{1}\pi\int_{-L}^{L}f(x)\cos(\dfrac{n\pi}{L}\cdot t)\,d(\dfrac{\pi}{L}\cdot t)=\dfrac{1}L\int_{-L}^{L}f(t)\cos(\dfrac{n\pi}{L}\cdot t)dtan=π1∫−LLf(x)cos(Lnπ⋅t)d(Lπ⋅t)=L1∫−LLf(t)cos(Lnπ⋅t)dt
bn=1π∫−LLf(x)sin(nπL⋅t)d(πL⋅t)=1L∫−LLf(t)sin(nπL⋅t)dtb_n=\dfrac{1}\pi\int_{-L}^{L}f(x)\sin(\dfrac{n\pi}{L}\cdot t)\,d(\dfrac{\pi}{L}\cdot t)=\dfrac{1}L\int_{-L}^{L}f(t)\sin(\dfrac{n\pi}{L}\cdot t)dtbn=π1∫−LLf(x)sin(Lnπ⋅t)d(Lπ⋅t)=L1∫−LLf(t)sin(Lnπ⋅t)dt
由于工程上的时间并没有负值，因此记T=2LT=2LT=2L为函数的周期，并记ω=2πT\omega=\dfrac{2\pi}{T}ω=T2π，函数即满足f(t)=f(t+T)f(t)=f(t+T)f(t)=f(t+T). 此时函数的傅里叶展开为
f(t)=a02+∑n=1∞ancos(nωt)+bnsin(nωt)f(t)=\dfrac{a_0}2 +\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos (n\omega t)+b_n\sin(n\omega t) f(t)=2a0+n=1∑∞ancos(nωt)+bnsin(nωt)
an=ωπ∫0Tf(t)cos(nωt)dta_n=\dfrac{\omega}\pi\int_{0}^{T}f(t)\cos(n\omega t)dtan=πω∫0Tf(t)cos(nωt)dt
bn=ωπ∫0Tf(t)sin(nωt)dtb_n=\dfrac{\omega}\pi\int_{0}^{T}f(t)\sin(n\omega t)dtbn=πω∫0Tf(t)sin(nωt)dt
四、傅里叶级数的复数形式
4.1 周期为2π2\pi2π的函数的傅里叶级数展开
这里要用到欧拉公式（欧拉方程，Euler’s formula）
eiθ=cos(θ)+isin(θ)e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)eiθ=cos(θ)+isin(θ)
于是可以得到
cos(θ)=eiθ+e−iθ2,sin(θ)=eiθ−e−iθ2i\cos(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\, \sin(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}cos(θ)=2eiθ+e−iθ,sin(θ)=2ieiθ−e−iθ
带入方程中有f(x)=a02+∑n=1∞[ancos(nx)+bnsin(nx)]=a02+∑n=1∞an×einx+e−inx2+bn×einx−e−inx2if(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)]=\dfrac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\times\dfrac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}+b_n\times\dfrac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}f(x)=2a0+n=1∑∞[ancos(nx)+bnsin(nx)]=2a0+n=1∑∞an×2einx+e−inx+bn×2ieinx−e−inx
整理可得
f(x)=a02+∑n=1∞an−ibn2×einx+∑n=1∞an+ibn2×e−inx‾f(x)=\dfrac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n-ib_n}2\times e^{inx}+\underline{\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n+ib_n}2\times e^{-inx}}f(x)=2a0+n=1∑∞2an−ibn×einx+n=1∑∞2an+ibn×e−inx
下划线中的部分用−n→n-n\rightarrow n−n→n即有
∑n=1∞an+ibn2×e−inx=∑n=−∞−1a−n+ib−n2×einx\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n+ib_n}2\times e^{-inx}=\sum_{n=-\infty}^{-1}\dfrac{a_{-n}+ib_{-n}}2\times e^{inx}n=1∑∞2an+ibn×e−inx=n=−∞∑−12a−n+ib−n×einx
根据前文的an和bna_n和b_nan和bn的表达式易知a−n=an,b−n=−bna_{-n}=a_{n},b_{-n}=-b_na−n=an,b−n=−bn带入上式中即有
∑n=1∞an+ibn2×e−inx=∑n=−∞−1an−ibn2×einx\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n+ib_n}2\times e^{-inx}=\sum_{n=-\infty}^{-1}\dfrac{a_{n}-ib_{n}}2\times e^{inx}n=1∑∞2an+ibn×e−inx=n=−∞∑−12an−ibn×einx
另外a02=a0+ib02×e−i0x\dfrac{a_0}{2}=\dfrac{a_0+ib_0}2\times e^{-i0x}2a0=2a0+ib0×e−i0x
于是有
f(x)=(an−ibn2×einx)n=0+∑n=1∞an−ibn2×einx+∑n=−∞−1an−ibn2×einx=∑an−ibn2×einxf(x)=(\dfrac{a_{n}-ib_{n}}2\times e^{inx})_{n=0}+\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n-ib_n}2\times e^{inx}+\sum_{n=-\infty}^{-1}\dfrac{a_{n}-ib_{n}}2\times e^{inx}=\sum \dfrac{a_n-ib_n}2\times e^{inx}f(x)=(2an−ibn×einx)n=0+n=1∑∞2an−ibn×einx+n=−∞∑−12an−ibn×einx=∑2an−ibn×einx
记cn=an−ibn2=12π[∫−ππf(x)cos(nx)dx−i∫−ππf(x)sin(nx)dx]=12π∫−ππf(x)[cos(nx)−isin(x)]dx=12π∫−ππf(x)e−inxdxc_n= \dfrac{a_n-ib_n}2=\dfrac1{2\pi}[\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx-i\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx]=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)[\cos(nx)-i\sin(x)]dx=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dxcn=2an−ibn=2π1[∫−ππf(x)cos(nx)dx−i∫−ππf(x)sin(nx)dx]=2π1∫−ππf(x)[cos(nx)−isin(x)]dx=2π1∫−ππf(x)e−inxdx得到
f(x)=∑cn×einx,cn=an−ibn2{f(x)=\sum c_n\times e^{inx}} \, ,c_n= \dfrac{a_n-ib_n}2f(x)=∑cn×einx,cn=2an−ibn
上式即周期为2π2\pi2π时的傅里叶级数的复数形式。
值得注意的是，对于实数范围内的函数，cnc_ncn与c−nc_{-n}c−n是共轭的。
取f(x)f(x)f(x)展开式中当的±n\pm n±n项求和为实数即可证明二者是共轭。
4.2 周期为2L2L2L的函数的傅里叶级数的复数形式
周期为2L2L2L的函数计算过程与周期为2π2\pi2π时的计算过程大致相同，其具体形式为
f(t)=f(t+T)=∑cneinωt,cn=1L∫0Lf(x)e−inwxdxf(t)=f(t+T)=\sum c_ne^{in\omega t}\, , c_n=\dfrac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)e^{-inwx}dxf(t)=f(t+T)=∑cneinωt,cn=L1∫0Lf(x)e−inwxdx
an和bna_n和b_nan和bn的表达式前文已经提及.
五、傅里叶变换
对于非周期函数，可以将其理解成周期为∞\infty∞的周期函数，此时T→∞,w=2πT→0T\rightarrow\infty,w=\dfrac{2\pi}{T}\rightarrow 0T→∞,w=T2π→0.
f(t)=limT→∞fT(t)=limω→0∑−∞∞1T∫0TfT(t)e−inωtdt⋅einωt=limω→0∑−∞∞ω2π∫0TfT(t)e−inwtdt⋅einωt\begin{aligned} f(t)=\lim_{T\rightarrow\infty}f_{T}(t) &=\lim_{\omega\rightarrow 0}\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f_{T}(t) e^{-i n \omega t} d t \cdot e^{i n \omega t} \\ &=\lim_{\omega\rightarrow 0}\sum_{-\infty}^{\infty} \frac{\omega}{2 \pi} \int_{0}^{T} f_{T}(t) e^{-i n w t} d t \cdot e^{i n \omega t} \end{aligned} f(t)=T→∞limfT(t)=ω→0lim−∞∑∞T1∫0TfT(t)e−inωtdt⋅einωt=ω→0lim−∞∑∞2πω∫0TfT(t)e−inwtdt⋅einωt
注意到ω=(n+1)ω−nω=Δω\omega=(n+1)\omega-n\omega=\Delta \omegaω=(n+1)ω−nω=Δω，上式可以继续化简为
f(t)=limT→∞fT(T)=limω→0∑−∞+∞Δω2π∫−∞+∞f(t)e−inωtdt⋅einωt=∫−∞+∞dω2π∫−∞+∞f(t)e−iωtdt⋅eiωt=12π∫−∞+∞∫−∞+∞f(t)e−iωtdt⋅eiωtdω\begin{aligned} f(t)=\lim _{T \rightarrow \infty} f_{T} (T) &=\lim _{\omega \rightarrow 0} \sum_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta \omega}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+ \infty} f(t) e^{-i n \omega t } d t \cdot e^{i n \omega t} \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d\omega}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t } d t \cdot e^{i \omega t} \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t} d t \cdot e^{i \omega t} d \omega \end{aligned} f(t)=T→∞limfT(T)=ω→0lim−∞∑+∞2πΔω∫−∞+∞f(t)e−inωtdt⋅einωt=∫−∞+∞2πdω∫−∞+∞f(t)e−iωtdt⋅eiωt=2π1∫−∞+∞∫−∞+∞f(t)e−iωtdt⋅eiωtdω
记F(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdtF(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dtF(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdt为f(t)f(t)f(t)的傅里叶变换，带入上式得到f(t)=12π∫−∞∞F(ω)eiωtdωf(t)=\dfrac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omegaf(t)=2π1∫−∞∞F(ω)eiωtdω即为傅里叶变换的逆变换。
