李宏毅机器学习学习笔记汇总
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Logistic RegressionStep 1: Function SetStep 2: Goodness of a FunctionStep 3: Find the best function为什么逻辑回归不能用square error平方误差Discriminative vs Generative生成式模型的优势Multi-class ClassificationLimitation of Logistic Regression 逻辑回归的限制对于线性回归和的logistic回归的理解:那么如何让机器自己可以产生这种transformation呢?Logistic Regression
Step 1: Function Set
逻辑回归和线性回归的step1的区别:
Step 2: Goodness of a Function
假设这批N个training data是从function定义的posterior probability所产生的
给出w和b,就给定了posterior probability,就可以计算某组w和b产生这N个training data的概率
最可能的w和b是 那组最大概率(最大化L(w,b)函数)产生这批training data的w和b,称作w∗w^*w∗和b∗b^*b∗
对公式进行转换:
两个伯努利分布的交叉熵,cross entropy代表这俩个分布有多么接近
如果这两个分布一样的话,KL散度是0,交叉熵等于真实分布的熵,是一个正常的熵,而不是0
逻辑回归和线性回归的step2的区别:
线性回归中的1/2方便求导去系数
Question:为什么我们不能用square error作为线性回归(在这里视频暂时未给出理由,记忆即可)
弹幕给出的回答:
一个先验是二项,一个先验是正态
两边本质都是似然,左边是二项的似然右边是高斯似然
Step 3: Find the best function
使用gradient descent来最小化−lnL(w,b)-\ln{L(w, b)}−lnL(w,b)
最后的化简结果:
w的更新取决于:
learning ratexix_ixi,来自于datay^n−fw,b(xn)\hat{y}^n - f_{w, b}(x^n)y^n−fw,b(xn)
y^n\hat{y}^ny^n是目标
fw,b(xn)f_{w, b}(x^n)fw,b(xn)是现在模型的output
逻辑回归和线性回归的step3的区别:
公式是一模一样的,但是其中:
逻辑回归中的target(y^n\hat{y}^ny^n)介于0-1(见step2的区别对比),f的取值也是介于0-1(见step1的区别对比)线性回归中,target(y^n\hat{y}^ny^n)可以是任何实数,output也可以是任何实数但是这俩个的更新方式是一模一样的
这里提到实验:老师说的是直接找到最佳解(因为是线性回归,求导为零,找到一个解),然后再梯度下降
为什么逻辑回归不能用square error平方误差
无论距离目标远近,微分算出来都是0
把参数变化,对total loss作图:
交叉熵:距离目标越远,梯度越大square error:距离目标远的时候,微分很小,移动速度很慢,容易卡住
Discriminative vs Generative
逻辑回归是discriminative方法 判别式模型用高斯分布来描述后验概率的方法是Generative方法,生成式模型只要在做概率模型时候,把协方差矩阵共用,那么他们的模型是完全一样的,都是P(C1∣x)=σ(w∗x+b)P(C_1|x) = \sigma(w*x+b)P(C1∣x)=σ(w∗x+b)
下图左右两边的w和b不是同一组的
进行计算,对于NB来说,P<0.5,这组testing data(x1=1,x2=1)属于class2,而不是class 1,与认知相反,是因为data数量太少了
生成式模型和判别式模型的差别在于:
生成式模型有做某些假设,假设data来自某些概率模型
gm模型提前假设,包含的函数会受限,dm则包含更多可能,因此可以得到比较好的效果朴素贝叶斯是生成模型 逻辑回归是判别模型
生成式模型的优势
如果training data很少,针对同一个问题,给判别式模型和生成式模型不同量的data:
1、判别式模型,没有做任何假设,完全依靠data,他的performance变化量会受data量影响很大,data越多,error越小
2、生成式模型,受data影响小,因为他本身会有一个假设/脑补,有时会无视data,遵从他的假设。
3、所以在data数量比较小的时候,生成式模型可能会赢过判别式模型。只有在数量增加时候,判别式模型才可能赢过生成式模型。
生成式模型,对于含有噪声的data,有了概率分布的假设,对于噪声可以更加鲁棒,忽视掉有问题的data
在判别式模型中,是假设了一个后验概率,然后去找后验概率的参数,但是生成式模型中把公式拆成先验概率和class-dependent probability类相关的概率两个部分,这样是有好处的,他们两个可以是来自不同的来源。(计算先验概率,某一句话被说出来的概率,所以语音辨识中,未必需要声音data,可以从网上爬一些数据,来计算这个先验概率,这就是language model。语音辨识其实是一个生成式模型。先验概率使用文字data来处理,class-dependent部分才需要声音data处理)
朴素贝叶斯是生成模型 逻辑回归是判别模型
Multi-class Classification
做完softmax后,output为0-1,且求和为1
softmax,对最大的值做强化,将大的和小的之间的差别做强化。
要计算y和y^\hat{y}y^的cross entropy,y^\hat{y}y^也要是一个概率分布,才可以算cross entropy,如何计算呢?
不可以假设class1是1,class2是2,class3是3:
因为这样会隐含class1和class2近,class2和class3近,而class1和class3较远,这样是不对的
最小化cross entropy来自于极大似然,在多个class情况下,依然一模一样。
Limitation of Logistic Regression 逻辑回归的限制
逻辑回归无法对下面的例子进行分类
因为逻辑回归的两个class之间的boundary是一条直线
所以,如果要坚持使用逻辑回归的话,可以用下面这种方法——Feature Transformation
前面的x1x_1x1,x2x_2x2的feature定的不好,可以转化一下,找一个好的feature space,从x1x_1x1,x2x_2x2 到x1′x_1'x1′,x2′x_2'x2′
对于线性回归和的logistic回归的理解:
其实主要原因是分布问题,在前面的线性回归里面,其分布主要是为高斯分布, 而在logistic里面的分布为 伯努利分布在线性回归中,同样用最大似然估计去估计w和b的值,得到的结果其实是和用square error (最小二乘)是一样的在logistic 回归中,因为估计的是伯努利分布,然后严格来说,也是可以用最大似然估计,但是数学家们发现用cross entropy 能更容易的找到希望的结果
那么如何让机器自己可以产生这种transformation呢?
把多个逻辑回归模型cascade 级联起来
假设输入是x1x_1x1,x2x_2x2,有一个逻辑回归模型,
对x1x_1x1,x2x_2x2分别乘以一个权重,然后求和得到z1z_1z1,经过sigmoid 函数,output就是新的transform的第一维x1′x_1'x1′;对于另外一个逻辑回归模型。对x1x_1x1,x2x_2x2 分别乘以另外一组权重,然后求和得到z2z_2z2,经过sigmoid函数,得到transform后的另外一维x2′x_2'x2′,如果把x1x_1x1,x2x_2x2经过这俩个逻辑回归的transform,得到x1′x_1'x1′和x2′x_2'x2′,而在这个新的transform上,class1和class2是可以用一条直线分开的,只需要再接上另外一个逻辑回归模型,input是x1′x_1'x1′和x2′x_2'x2′,x1′x_1'x1′和x2′x_2'x2′是每一个example的feature,根据这俩个新的feature就可以把class1和class2分开,所以前面两个逻辑回归模型做的工作就是feature transformation,随后再由后面的逻辑回归模型来进行classification分类
可以调整蓝色/绿色逻辑回归的权重参数,让他的后验概率的output分别像图中颜色分布
有了前面这俩个逻辑回归后,就可以把input的数据做transform,得到另外一组feature,x1′x_1'x1′和x2′x_2'x2′
把多个逻辑回归模型相互连接起来,变得powerful,并且把每个逻辑回归模型赋予一个新的名字“Neuron”,把串起来之后组成的network叫做Neural Network,进入Deep Learning!妙啊!!!