典型例题分析1:
如图,在△ABC中,点O在边AC上,⊙O与△ABC的边AC,AB分别切于C、D两点,与边AC交于点E,弦CF与AB平行,与DO的延长线交于M点.
(1)求证:点M是CF的中点;
(2)若E是弧DF的中点,连结DF,DC,试判断△DCF的形状;
(3)在(2)的条件下,若BC=a,求AE的长.
考点分析:
切线的性质.
题干分析:
(1)根据垂径定理可知,只要证明OM⊥CF即可解决问题;
(2)结论:△DFC是等边三角形.由点M是CF中点,DM⊥CF,推出DE=DF,由E是弧DF中点,推出DC=CF,推出DC=CF=DF,即可;
(3)只要证明△BCD是等边三角形,即可推出∠B=60°,∠A=30°,在Rt△ABC中,BC=BD=CD=a,可得OC=OD=√3a/3,OA=2√3a/3,由此即可解决问题;
典型例题分析2:
探究与应用.试完成下列问题:
(1)如图①,已知等腰Rt△ABC中,∠C=90°,点O为AB的中点,作∠POQ=90°,分别交AC、BC于点P、Q,连结PQ、CO,求证:AP2+BQ2=PQ2;
(2)如图②,将等腰Rt△ABC改为任意直角三角形,点O仍为AB的中点,∠POQ=90°,试探索上述结论AP2+BQ2=PQ2是否仍成立;
(3)通过上述探究(可直接运用上述结论),试解决下面的问题:如图③,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点O为AB的中点,过C、O两点的圆分别交AC、BC于P、Q,连结PQ,求△PCQ面积的最大值.
考点分析:
圆的综合题.
题干分析:
(1)证△APO≌△COQ,求出AP=CQ,同理求出BQ=CP,根据勾股定理求出即可;
(2)延长QO到D,使OD=OQ,连接AD,PD,求出PD=PQ,证△AOD≌△BOQ,推出AD=BQ,∠BAD=∠B,OD=OQ,在Rt△PAD中,由勾股定理得:AP2+AD2=PD2,即可得出答案;
(3)连接PO、OQ,则∠POQ=90°,根据勾股定理得出AP2+BQ2=PQ2,设PC=a,CQ=b,推出(6﹣a)2+(8﹣b)2=a2+b2,求出b=﹣3a/4+25/4,代入S△PCQ=ab/2求出即可.