24. 综合与探究
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x(^2)+bx+c与x轴交于A(-3,0)、B两点,
与y轴交于点C,AB=4,点D为抛物线顶点.
(1)求抛物线解析式;
(2)点E在此抛物线的对称轴上,当〡BE-CE〡最大时,点E的坐标为__________,
此时△AEC 的面积为_________;
(3)证明:∠BAD=∠ACB;
(4)点F在抛物线上,平面内存在点G使四边形AFCG为菱形时,请直接写出点G的坐标.
解:(1)∵AB=4,A(-3,0)
∴B(1,0)
把A(-3,0)和B(1,0)代入y=x(^2)+bx+c,得
∴9-3b+c=0,1+b+c=0
解得:b=2,c=-3
∴抛物线的解析式为:y=x(^2)+2x-3
(2)连接BC与对称轴交于点E,此时〡BE-CE〡最大
设对称轴与x轴交于点M
∵EM∥OC
∴(EM/OC)=(BM/OB)
∴EM=6
∴E(-1,-6)
或求直线BC解析式,代入x=-1求解E的坐标
(3)证明:∵OA=OC=3,OC⊥OA
∴∠OAC=∠OCA=45°
∴AC=3√(2)
过点D作DH⊥y轴
∵DH=CH=1
∴∠HDC=∠HCD=45°
∴CD=√(2)
∴∠ACD=90°
∴tan∠CAD=(CD/AC)=(1/3)
∵tan∠OCB=(OB/OC)=(1/3)
∴∠CAD=∠OCB
∵∠BAD=∠CAD+∠BAC,∠ACB=∠OCA+∠OCB
∴∠BAD=∠ACB
(4)做AC的垂直平分线分别交抛物线与点F[1],F[2]
∵△AOC是等腰直角三角形
∴AC垂直平分线所在直线为y=x
∴x=x(^2)+2x-3
解得:x=(-1±√(13)/2)
∴F[1]((-1-√(13)/2),(-1-√(13)/2)),F[2]((-1+√(13)/2),(-1+√(13)/2))
∴M[1]((5-√(13)/2),(5-√(13)/2)),M[2]((-5-√(13)/2),(-5-√(13)/2))
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