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二次函数与圆的综合题是初中数学的经典题型，也是中考数学的重点和难点，本文就例题详细解析这类题型的解题思路及相关的重要知识点，希望能给新初三学生的复习备考带来帮助。
例题
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A、B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形。过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分弧AC。
（1）求过A、B、E三点的抛物线的解析式；
（2）求证：四边形AMCD是菱形；
（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
1、求抛物线的解析式
根据题目中的条件：△MBC是边长为2的等边三角形，则BM=2；
根据等边三角形的性质和结论：等边三角形中底边上的高与顶角的平分线、底边上的中线重合，△MBC是等边三角形，直线l与x轴垂直，则MO=BO；
根据结论：BM=2，MO=BO，MO+BO=BM，则MO=BO=1，即B点坐标为（1,0），M点坐标为（-1,0）；
根据圆的性质和结论：同圆或等圆中的半径相等，BM=2，则BM=AM=CM=ME=2，即A点坐标为（-3,0），E点坐标为（-1，-2）；
设抛物线的解析式y=ax+bx+c
根据题目中的条件：抛物线经过A、B、E三点，A（-3,0），B（1,0），E（-1，-2），则A、B、E三点的坐标代入抛物线解析式能使等式成立，可求得a=1/2，b=1，c=-3/2；
所以，抛物线的解析式为y=1/2x+x-3/2。
2、证明：四边形AMCD是菱形
连接DM
根据题目中的条件：点D平分弧AC，则弧AD=弧CD；
根据圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，弧AD=弧CD，则∠AMD=∠CMD，AD=CD；
根据等边三角形的性质和题目中的条件：等边三角形的三个角都是60°，则∠BMC=60°；
根据题目中的条件和结论：∠BMC+∠AMD+∠CMD=180°，∠AMD=∠CMD，∠BMC=60°，则∠AMD=∠CMD=（180°-60°）/2=60°；
根据圆的性质和题目中的条件：同圆或等圆中的半径相等，则DM=CM；
根据等腰三角形的判定和结论：有两条边相等的三角形为等腰三角形，DM=CM，则△CMD为等腰三角形；
根据等边三角形的判定和结论：有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，∠CMD=60°，△CMD为等腰三角形，则△CMD为等边三角形；
根据等边三角形的性质和结论：等边三角形的三边相等，△CMD为等边三角形，则CM=CD；
根据结论：CM=CD，AD=CD，AM=CM，则CM=CD=AD=AM；
根据菱形的判定和结论：四条边相等的四边形为菱形，CM=CD=AD=AM，则四边形AMCD是菱形。
3、求点P的坐标
连接AP、BP，过点P作PF⊥x轴，交x轴于点F
根据结论：AM=BM=2，则AB= AM+BM=4；
根据三角形的面积计算公式、题目中的条件和结论：AB=4，S△ABP=5，S△ABP=AB·PF/2，则PF=5/2，即P点的纵坐标为5/2或-5/2；
（1）当P点纵坐标为5/2时
根据题目中的条件和结论：抛物线的解析式为y=1/2x+x-3/2，P点在抛物线上，P点的纵坐标为5/2，可解得P点的横坐标为2或-4，即P点坐标为（2,5/2）或（-4,5/2）；
（2）当P点纵坐标为-5/2时
根据题目中的条件和结论：抛物线的解析式为y=1/2x+x-3/2，P点在抛物线上，P点的纵坐标为-5/2，可解得P点的横坐标无解，即不存在符合条件的P点。
所以，使得△ABP的面积等于定值5的P点坐标为（2,5/2）或（-4,5/2）。
结语
二次函数与圆的综合题是有一定难度的中考经典题型，只有认真审题、仔细分析，并熟练掌握和灵活运用二次函数与几何图形的性质定理，才能轻松应对这类题型，为中考数学取得高分加油助力！
