一元二次方程根与系数的关系是九年级数学的重要知识点，也是中考数学的经典题型，本文就例题详细解析这类题型的经典解题思路，希望能给初三同学的数学学习带来帮助。
例题1
已知关于x的一元二次方程mx^2-3(m+1)x+2m+3=0。
（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当该方程的根都是整数，且|x|<4时，求m的整数值。
1、求m的取值范围
根据根的判别式和题目中的条件：一元二次方程为mx^2-3(m+1)x+2m+3=0，则
△=[3(m+1)]^2-4m*(2m+3)
=m^2+6m+9
=(m+3)^2≥0；
根据题目中的条件、结论：当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，则m≠-3；
根据一元二次方程的系数要求：当m≠0时，此方程为一元二次方程；
所以，符合条件的m的取值范围为m≠-3且m≠0。
2、求m的整数值
根据一元二次方程的求根公式和题目中的条件：方程mx^2-3(m+1)x+2m+3=0，则方程的两个根分别为x1=[3(m+1)+(m+3)]/2m=2+3/m，x2=[3(m+1)-(m+3)]/2m=1；
根据题目中的条件：m为整数，x1=2+3/m为整数，则m=1、-1、3、-3；
根据结论：m的取值范围为m≠-3且m≠0，则m=-3不符合条件，舍去；
根据题目中的条件：|x|<4，则当m=1时，x1=5不符合条件，舍去；
所以，符合条件的m的取值为-1或3。
例题2
已知x1，x2是关于x的一元二次方程x^2-2(m+1)x+m^2+5=0的两个根。
（1）若(x1-1)(x2-1)=28，求m的值；
（2）已知等腰三角形ABC一边的长为7，若x1，x2恰好是三角形ABC另外两边的长，求这个三角形的周长。
1、求m的值
根据根的判别式和题目中的条件：一元二次方程为x^2-2(m+1)x+m^2+5=0，则△=[2(m+1)]^2-4(m^2+5)=8m-16；
根据题目中的条件、结论：当△≥0时，一元二次方程有两个实数根，△=8m-16，则8m-16≥0，即m≥2；
根据韦达定理和题目中的条件：方程x^2-2(m+1)x+m^2+5=0，方程的两个根为x1、x2，则x1+x2=2(m+1)，x1*x2=m^2+5；
把代数式(x1-1)(x2-1)进行变换可得：
(x1-1)(x2-1)
=x1*x2-(x1+x2)+1；
把x1+x2=2(m+1)，x1*x2=m^2+5代入变换后的代数式，可得：
x1*x2-(x1+x2)+1=m^2+5-2(m+1)+1=m^2-2m+4；
根据题目中的条件和结论：(x1-1)(x2-1)=28，(x1-1)(x2-1)=m^2-2m+4，则m^2-2m+4=28，可求得m=6，m=-4；
根据结论：m≥2时方程有两个根，则m=-4不符合条件，舍去；
所以，符合条件的m的值为6。
2、求三角形的周长
（1）当等腰三角形的底边为7时
根据题目中的条件：等腰三角形的两条腰为方程x^2-2(m+1)x+m^2+5=0的两个根，则方程有两个相等的根；
根据题目中的条件、结论：当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，△=8m-16，则8m-16=0，即m=2；
根据结论：m=2，则方程为x^2-6x+9=0，可求得方程的根为x1=x2=3；
根据三角形三边长的关系：三角形的两边之和大于第三边，等腰三角形的三边为3，3，7，则3+3<7，不符合条件，舍去；
（2）当等腰三角形的腰为7时
根据题目中的条件：等腰三角形的另一条腰7是方程x^2-2(m+1)x+m^2+5=0的一个根，则49-14(m+1)+m^2+5=0，可求得m=10，m=4；
当m=10时，方程为x^2-22x+105=0，可求得两个根为x1=7，x2=15；
根据三角形三边长的关系：三角形的两边之和大于第三边，等腰三角形的三边为7，7，15，则7+7<15，不符合条件，舍去；
当m=4时，方程为x^2-10x+21=0，可求得两个根为x1=7，x2=3；
根据三角形三边长的关系：三角形的两边之和大于第三边，等腰三角形的三边为7，7，3，则符合条件；
根据周长的计算公式和结论：等腰三角形的三边为7，7，3，则等腰三角形的周长=7+7+3=17；
所以，符合条件的等腰三角形的周长为17。
结语
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系应用相当广泛，只有根据题意进行合理地代数式变换求解，再结合方程根的情况进行判定推理，才能得到符合题意的结果，牢固掌握并灵活运用这些知识点，为数学中考取得高分加油助力！
