函数压轴题，由零点个数求参数，建议各层次高中学生认真研究；高中数学精选疑难答疑第2条。
给出函数的零点个数，求参数的取值范围，这类题型本比较常见，之所以把这道题精选出来答疑，是因为它是这类题型中比较特殊的一类：难度较高，有代表性。
解决本题所需要的知识点并不多，只要学过高一数学中的各种基本函数的图像和性质就够了。它重点考察的是灵活分析问题的能力，平时不注重总结，没有独立思考和解决问题习惯的人，很难完整地把它做出来。
本题如果出现在高考数学卷中，会以压轴题的形式出现，函数零点个数问题也是高考数学重点考察的知识点，所以不论你数学成绩如何，希望能认真研究下面的解析过程，特别是其中包含的分析问题和解决问题的思维方式。
最容易想到的方法是，先求出f(x)－g(x)的表达式，然后再分析何时有3个零点，如下，这是一个分段函数，面对如此复杂的两个函数表达式，可以想象，研究它的零点个数会是一件多么令人崩溃的事情，不管有没有好的方法继续往下做，在高考考场上，如果是我，我会立即放弃这种思考问题的方式。
现在咱们从头观察题中的各个条件：f(x)是一个分段函数，它是由两个函数构成的，一个是指数函数，另一个是二次函数，g(x)是一个一次函数，这3个函数都是基本初等函数，它们的图像咱们都可以很容易地画出来，所以考虑使用数形结合的方法来解题。
首先画出函数f(x)的图像，x＝1是分段函数中两个函数定义域的分界点，最好先把x＝1分别代入两个函数表达式，求出这2个函数图像的分界点，容易求得这两个点是同一个点，即下图中的点A(1,1/2)。
这说明分段函数f(x)的图像是一条连续不中断的图像，点A的左侧是指数函数图像的一部分，右侧是二次函数图像的一部分，如下图中的粗实线曲线。速画函数图像是基本功，必须熟练。
函数y＝f(x)－g(x)恰有3个零点，等价于“函数f(x)和g(x)的图像恰有3个交点”，下面根据图像讨论何时有3个交点。
函数g(x)的图像是一系列斜率都等于3/2的平行线，现在要进行的，就是找出这些平行线中，哪些直线与f(x)的图像恰有3个交点。为了方便大家更好地学习数学，我在功众号“爱做数学题”中把所有发布的课程和专题按照课本顺序进行了分类整理。
如图，蓝色直线是平行线中经过点A的直线，点A是一个关键点，因为如果把蓝线向下平移，则直线y＝g(x)与抛物线有公共点，而与指数函数的图像没有公共点，直线与f(x)的图像最多有2个交点，不可能有3个交点；只有当把蓝色直线向上平移时，直线y＝g(x)与指数函数的图像必定有1交点，同时有可能与抛物线（实线部分）有两个交点，这样才有可能凑够3个交点。
所以先要分析当直线y＝g(x)经过点A时，与抛物线（实线部分）有几个交点。说明：直线与抛物线虚线部分不是f(x)图像的一部分，所以一定要确定直线与抛物线实线部分的交点个数。如下，把经过A点的蓝色直线的方程和抛物线方程联立方程组，解得有两个交点，其中一个是A点，另一个交点的横坐标是3/2大于1，故这2个交点都在抛物线实线部分上。
从上面的分析可知：当直线经过A点时，直线与抛物线实线部分有2个交点。现在只需把蓝色直线“稍稍”向上平移一点儿，就能使直线既与抛物线实线部分有2个交点，又与指数函数图像有1个交点，这样一来就满足了 “3个交点”的题意。
接下来要讨论的是，蓝色直线向上平移多少可以保证“恰有3个交点”。如图，黑色直线是当直线y＝g(x)与抛物线相切时的直线，则黑色直线和蓝色直线之间的直线都是满足题意的直线。
总结：当讨论函数零点个数时，如果所有函数的图像都可以画出来，那么要优先考虑使用数形结合来解决问题。
