设f(x)=|x/2+1|+|x|(x∈R)的最小值为a.
(1)求a;
(2)已知p,q,r是正实数,且满足p+q+r=3a,求p2+q2+r2的最小值.
解:(1)x≤﹣2时,f(x)=﹣3x/2﹣1≥2;
﹣2<x<0时,f(x)=﹣x/2+1∈(1,2);
x≥0时,f(x)=3x/2+1≥1
∴f(x)的最小值为1,即a=1;
(2)由(1)知,p+q+r=3,又p,q,r为正实数,
∴由柯西不等式得,(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2
=(p+q+r)2=32=9,
即p2+q2+r2≥3,
∴p2+q2+r2的最小值为3.
考点分析:
绝对值三角不等式;分段函数的应用.
题干分析:
(1)分类讨论,求出函数的最小值,即可求a;
(2)由柯西不等式:(a2+b2+c2)(d2+e2+f2)≥(ad+be+cf)2,即可求p2+q2+r2的最小值.
解题反思:
分段函数是指在定义域内解析式不能统一表达的一类函数,从整体上看,分段函数是一个函数,而不是几个函数。综观近些年的高考试卷,可以发现分段函数问题在高考中屡见不鲜,常考不衰,并且新课标对分段函数加大了力度。
对分段函数的研究,往往需借助于分类讨论和数形结合等多种数学思想和方法,需综合各种函数的性质,正由于此,分段函数日渐受到各级命题者的青睐。